第五讲 高考复习-映射、函数、函数的解析式及定义域

东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）第一节映射、函数、函数的解析式及定义域东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）最新考纲1.了解映射的概念．2．理解函数的概念．3．能熟练地求基本初等函数和复合函数的定义域.高考热点1.以排列、组合知识为载体，考查映射个数问题．2．以考查函数概念为主，同时考查同一函数的判断，函数值、函数解析式的求法．3．以初等函数为载体，考查定义域的求法.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）知识梳理1.映射与函数(1)对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别．在了解映射概念的基础上，深刻理解函数是一种特殊的，而又是一种特殊的对应．(2)掌握构成函数的三要素——，其中对应法则是核心，定义域是函数的灵魂．映射映射对应法则、定义域和值域东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）(3)掌握函数的三种表示方法——，若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个不同式子来表示，这种表示形式的函数叫做．(4)如果y＝f(u)，u＝g(x)，那么y＝f[g(x)]，叫做f和g的复合函数，其中g(x)为，f(u)为．列表法、解析法和图象法内函数外函数分段函数东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）2．求解析式的常用方法(1)已知f[g(x)]的解析式，求f(x)的解析式，一般有两种方法：、；(2)已知函数f(x)的类型，求f(x)的解析式，一般利用；(3)已知f(x)与f(－x)或f(x)与f()之间的关系式，求f(x)的解析式，一般用．换元法配凑法待定系数法方程组法东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）3．求函数定义域一般有三类问题．第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的的取值集合；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由f(x)的确定函数f[g(x)]的定义域或由f[g(x)]的定义域确定函数f(x)的．其中，熟练掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域是求函数定义域的关键．自变量实际问题或几何问题定义域定义域东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）4．求函数的定义域，主要涉及以下几个方面：①分式的不为零；②对数函数的都必须大于零，底数必须大于零且不为1；③偶次方根的非负；④零次幂的不为零等．(1)对于一个从集合A到集合B的映射来说，A中的每一个元素必有唯一的象，但B中的每一个元素却不一定都有原象．如果有，也不一定只有一个．(2)分段函数是指不能用一个统一的解析式来表示的函数，它只是表示一个函数，而不是表示几个函数．(3)求函数的定义域，既要考虑使函数式有意义，又要考虑问题的实际意义.分母真数被开方数底数东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）例1已知映射f：A→B，其中A＝B＝R，对应法则f：y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是()A．k＞1B．k≥1C．k＜1D．k≤1[解析]由题意可知，k不在函数y＝－x2＋2x的值域之中，由y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，可得k＞1.故选A.[答案]A东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[规律总结]准确理解映射的定义是解决映射问题的关键，对应法则、原象与象所在的集合是构成一个映射的三要素，建立一个从A到B的映射，就是要使A中的任一元素在B中都有唯一的对应元素即可．本题把映射与函数有机地结合在一起，在集合A中不存在原象，实质上就是k不在函数的值域内.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）备选例题1下列对应是否为从A到B的映射？①A＝R，B＝R，f：x→y＝1x＋1②A＝a|12a∈N*，B＝b|b＝1n，n∈N*，f：a→b＝1a③A＝{x|x≥0}，B＝R，f：x→y，y2＝x④A＝{平面α内的矩形}，B＝{平面α内的圆}，f：作矩形的外接圆．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）解：①当x＝－1时，y值不存在，所以不是映射．②A、B两集合分别用列举法表述为A＝{2,4,6，…}B＝1，12，13，14，…，由对应法则f：a→b＝1a知，是映射．③不是映射，如A中元素1有两个象±1.④是映射.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）题型二函数的概念思维提示函数三要素例2判断下列各组函数是否为同一函数．(1)f(x)＝x2＋2x－1，g(t)＝t2＋2t－1；(2)f(x)＝x2－1x－1，g(x)＝x＋1；(3)f(x)＝x·x＋1，g(x)＝x2＋x；(4)f(x)＝x＋1(－1＜x＜0)x－1(0＜x＜1)，g(x)＝f－1(x)．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[分析]本题主要考查函数的概念等基础知识，考查分析问题的能力，判断两函数y＝f(x)和y＝g(x)是否为同一函数的依据为：定义域、值域、对应法则是否完全相同，若有一方面不同，则它们不是同一函数．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[解](1)函数的定义域、值域、对应法则均相同，所以是同一函数．(2)y＝x2－1x－1＝x＋1，但x≠1，故两函数定义域不同，所以它们不是同一函数．(3)函数f(x)＝x·x＋1的定义域为{x|x≥0}．而g(x)＝x2＋x的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数．(4)∵g(x)＝f－1(x)＝x－1(0＜x＜1)x＋1(－1＜x＜0)f(x)与g(x)的对应法则、定义域和值域分别相同，故它们是同一函数．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[规律总结](1)第(1)小题易错判断为它们不是同一函数，错误的原因在于没能真正理解函数的概念．实际上，在函数的定义域与对应法则f不变的条件下，自变量用何字母表示，并不影响这个函数的本身．(2)函数的对应法则可以简化，例如f(x)＝x与g(x)＝3x3，单从表面上看它们的对应法则不同，但实质上是相同的．(3)当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域随之得到确定，故函数的三要素(定义域、值域、对应法则)可简化为两要素(定义域、对应法则)，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，为同一函数.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）备选例题2下列各组式子分别表示同一函数的序号是________．(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝t2(2)y＝x2，y＝(x)2(3)y＝x＋1·x－1，y＝x2－1(4)y＝1＋x·1－x，y＝1－x2(5)y＝x，y＝s2s，s＞0，0，s＝0，－s2|s|，s＜0东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）解析：仅就定义域不同，即知(2)和(3)中的两个式子都表示不同的函数．经考查定义域和对应法则，可知(1)和(4)中的两个式子都表示相同的函数，事实上，对于(1)，在公共定义域R上，f(x)＝|x|和φ(t)＝t2的对应法则完全相同，只是表示形式不同；对于(4)，在公共定义域[－1,1]上，y＝1＋x·1－x⇔y＝1－x2.对于(5)，其中一个是分段函数，它的定义域为R，不管s＞0，s＜0，s＝0都有y＝s，对应法则和y＝x相同，因此这两个函数定义域、对应法则都相同，所以它们是相同的函数．答案：(1)(4)(5)东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）题型三求函数的解析式思维提示代入法、拼凑法、换元法、待定系数法、赋值法例3求下列函数的解析式．(1)已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)；(2)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)；(3)已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．[分析]对第(1)、(2)两题可采用换元法，对第(3)小题采用待定系数法．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[解](1)∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.(2)令x＋1＝t，则t≥1，即x＝(t－1)2.则f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)∵f(0)＝c＝0，∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b，f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）∴2a＋b＝b＋1a＋b＝1⇒a＝12b＝12，∴f(x)＝12x2＋12x.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[规律总结](1)求函数的解析式主要有如下五种基本类型：①已知f(x)和g(x)，求f[g(x)]；②已知f[g(x)]和g(x)，求f(x)；③已知f(x)的结构，求f(x)；④在实际问题中，根据函数的意义，求函数的解析式；⑤已知f(x)所满足的一部分性质，确定f(x)的解析式或它所满足的其他性质．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）(2)求函数解析式的常用方法有：代入法，用g(x)代替f(x)中的x，即得到f[g(x)]的解析式；拼凑法，对f[g(x)]的解析式进行拼凑变形，使它能用g(x)表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可；换元法，设t＝g(x)，解出x，代入f[g(x)]，得f(t)的解析式即可；待定系数法，若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值，确定相关的系数即可；赋值法，给变量赋予某些特殊值，从而求出其解析式.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）备选例题3求下列函数的解析式．(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；(2)已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)；(3)设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为22，求f(x)的解析式．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）∴f(x)＝2x＋7.(2)令1－cosx＝t，∴cosx＝1－t.∵－1≤cosx≤1，∴0≤1－cosx≤2，即0≤t≤2.∵f(1－cosx)＝sin2x＝1－cos2x，∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t,0≤t≤2，故f(x)＝－x2＋2x,0≤x≤2.(3)解法一：∵y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2，又|x1－x2|＝22，∴y＝f(x)与x轴的交点为(－2－2，0)，(－2＋2，0)，故可设f(x)＝a(x＋2＋2)(x＋2－2)，东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）∵f(0)＝1，∴a＝12，∴f(x)＝12(x＋2＋2)(x＋2－2)．即f(x)＝12x2＋2x＋1.解法二：∵f(x－2)＝f(－x－2)，∴y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2，可设y＝a(x＋2)2＋k，利用|x1－x2|＝22和过(0,1)点可求得结果．东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[分析]欲使函数有意义，需分式的分母不为0，对数的真数大于0，偶次被开方数非负，通过解不等式(组)即可．题型四求函数的定义域思维提示转化为求解不等式(组)例4求下列函数的定义域：(1)y＝lg(|x|－x)1－x2；(2)y＝25－x2＋lgcosx；(3)y＝(x－1)0|x|＋x.东方沸点学校为你服务高考总复习·数学（理）[解](1)由1－x2＞0|x|－x＞0，得－1＜x＜1x＜0.∴函数的定义域为(－1,0)．(2)由25－x2≥0cosx＞0，得－5≤x≤52kπ－π2＜x＜2kπ＋π2(k∈Z).借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为[－5，－3π2)∪(－π2，π2)∪(3π2，5]．(3)由x－1≠0|x|＋x≠0，得x＞0且x≠1.∴函数的定义域为{x|x＞0，且x≠1}．东方沸点学校为你服