第八章 第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积(往年真题集锦)

第八章立体几何第一节空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积第一部分五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.223B.423C.2323D.2343【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2,四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为21232333所以该几何体的体积为2323.答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积.2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c2m）为（A）48+122（B）48+242（C）36+122（D）36+2423.正六棱锥P-ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（A）1：1(B)1：2(C)2：1(D)3：24.在区间[-1，1]上随机取一个数x，cos2x的值介于0到21之间的概率为().A.31B.2C.21D.3222侧(左)视图222正(主)视图俯视图【解析】:在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x时,222x,∴0cos12x区间长度为1,而cos2x的值介于0到21之间的区间长度为21,所以概率为21.故选C答案C【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值cos2x的范围,再由长度型几何概型求得.5.如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12。则该集合体的俯视图可以是答案:C6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A.南B.北C.西D.下解：展、折问题。易判断选B7.如图，在半径为3的球面上有,,ABC三点，90,ABCBABC，球心O到平面ABC的距离是322，则BC、两点的球面距离是A.3B.C.43D.2答案B8．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为A.26B.23C.33D.23答案C9，如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是（）答案B二、填空题10..图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a=_______答案311.如图是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则a__________12．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是3cm．答案18【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为1339，上面的长方体体积为3319，因此其几何体的体积为1813.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。则该几何体的体积为3m答案414.直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得23BC,由正弦定理,可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径5R，故此球的表面积为2420R.15．正三棱柱111ABCABC内接于半径为2的球，若,AB两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为．答案816．体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于．答案8617．如图球O的半径为2，圆1O是一小圆，12OO，A、B是圆1O上两点，若A，B两点间的球面距离为23，则1AOB=.答案218.已知三个球的半径1R，2R，3R满足32132RRR，则它们的表面积1S，2S，3S，满足的等量关系是___________.答案32132SSS19.若球O1、O2表示面积之比421SS，则它们的半径之比21RR=_____________.答案2三、解答题20．（本小题满分13分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（2）求该安全标识墩的体积；（3）证明：直线BD平面PEG.【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.（２）该安全标识墩的体积为：PEFGHABCDEFGHVVV2214060402032000320006400032cm（３）如图,连结EG,HF及BD，EG与HF相交于O,连结PO.由正四棱锥的性质可知,PO平面EFGH,POHF又EGHFHF平面PEG又BDHFPBD平面PEG；2005—2008年高考题一、选择题1.(2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示ABC，，分别是GHI△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）答案A2.（2008海南、宁夏理）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（）A．22B．23C．4D．25答案C【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的高宽高分别为,,mnk，由题意得2227mnk，226mk1n21ka，21mb，所以22(1)(1)6ab228ab，22222()282816abaabbabab∴4ab当且仅当2ab时取等号。3.（2008山东）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A.9πB.10πC.11πD．12πEFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEA．BEB．BEC．BED．nmk答案D【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S3.(2007宁夏理•8)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）Ａ．34000cm3Ｂ．38000cm3Ｃ．32000cmＤ．34000cm答案B4.（2007陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．433B．33C．43D．123答案B5.（2006安徽）表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．23B．13C．23D．223答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由238234a知，1a，则此球的直径为2，故选A。6.（2006福建）已知正方体外接球的体积是332，那么正方体的棱长等于（）A.22B.332C.324D.334答案D【解析】正方体外接球的体积是323，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，2020正视图20侧视图101020俯视图棱长等于433，选D.7.（2006湖南卷）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截面的面积是()A．πB.2πC.3πD.32答案A【解析】过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°，则截面圆的半径是21R=1，该截面的面积是π，选A.8.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶3B.1∶3C.1∶33D.1∶9答案C【解析】设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为12a，它的外接球的半径为32a，故所求的比为1∶33，选C.9.（2005全国卷Ⅰ）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为()A.28B.8C.24D.4答案B10.（2005全国卷Ⅰ）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且BCFADE、均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为()A.32B.33C.34D.23二、填空题11.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为．答案34【解析】令球的半径为R，六棱柱的底面边长为a，高为h，显然有22()2haR，且21396248363aVahha1R34433VR.12.（2008海南、宁夏文）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为3，底面周长为3，那么这个球的体积为_________答案43【解析】∵正六边形周长为３，得边长为12，故其主对角线为１，从而球的直径222312R∴1R∴球的体积43V.13.（2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．答案14π14.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.答案24215.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．答案67【解析】显然正六棱锥PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥PABCDEF的高依题意可得为2，依此可求得67.第二部分三年联考汇编2009年联考题一、选择题1.（2009枣庄市二模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）ABCPDEFA．361aB．321aC．332aD．365a答案D2.（2009天津重点学校二模）如图，直三棱柱的主视图面积为2a2,则左视图的面积为（）A．2a2B．a2C．23aD．243a答案C3.（2009青岛二模）如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有()A．3块B．4块C．5块D．6块答案B4.（2009台州二模）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为32，且一个内角为60的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A.23B.43C.4D.8答案C5.（2009宁德二模）右图是一个多面体的三视图，则其全面积为()A．3B．362aaa正视图侧视图俯视图C．36D．34r答案C6.（2009天津河西区二模）如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是底为1，高为2的矩形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积为()A．Z2B．52C．4D．5答案B7.（2009湛江一模）用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如右图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为()A．9与13B．7与10C．10与16D．10与15答案C8.（2009厦门大同中学）如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是()A.2(2042)cmB.21cm俯视图主视图2俯视图主视图左视图212A1C1B1BCAD第（11）题C.2(2442)cmD.24cm答案A9.（抚州一中2009届高三第四次同步考试）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得几何体的表面积是()A.22B.12C.4＋24D.4＋32答案D二、填空题10.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.答案211.（2009南京一模）如图，在正三棱柱111CBAABC中，D为棱1AA的中