3.2 自回归模型

3.2自回归模型建立线性时序模型的原理——动态性返回本节首页下一页上一页动态性：就是指时间序列各观测值之间的相关性。从系统的观点看：动态性即指系统的记忆性，也就是某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响，图示如下：系统输入输出（响应）例（1）某人在某一天打了一针，如果当天的反应是疼痛，而以后没有其它反应，那么系统的输入、输出如下：0时间t：12345输入at:01000输出xt：00000这种状况可用模型概括为：ttax0（2）如果此人在打针后当天没有什么感觉，而第二天出现了红肿，那么系统的输入、输出如下：1时间t：12345输入at:01000输出xt：00001这种状况可用模型概括为：11ttax（3）如果当天的反应是疼痛，第二天出现了红肿，那么：10时间t：12345输入at:01000输出xt：0001这种状况可用模型概括为：110tttaax0（4）如果打针以后各个时刻都存在相应的反应，那么，关于该刺激的总的概括为：22110ttttaaax),,,(210上式中：总称为记忆函数，其中为at-j对xt的影响程度，输入与输出是由记忆函数联结起来的。由于系统具有记忆性，我们可以用过去的数据预测未来。j•(一).一阶自回归模型，AR(1)•1.设{xt}为零均值的平稳过程，如果关于xt的合适模型为：tttaxx11其中：(1)at是白噪声序列（Eat=0,Var(at)=σ2,cov(at,at+k)=0,k≠0）(2)假定：E(xt,as)=0(ts)，那么我们就说Xt遵循一个一阶自回归或AR(1)随机过程。一、自回归模型(Autoregressivemodel,AR）返回本节首页下一页上一页可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依赖于它的前一期的值xt-1；另一部分是依赖于与xt-1不相关的部分at•2.可将AR(1)模型写成另一种形式：tttaxx11通过这一种形式可以看出，AR(1)模型通过消除xt中依赖于xt-1的部分，而使相关数据转化成了独立数据。3.随机游走模型如果一个时间序列xt的合适的模型为如下的形式：tttaxx1其中：at为白噪声序列，那么就称该模型为随机游走模型，这样的时间序列称随机游走过程。注意：随机游走过程是非平稳时间序列。证明：证毕非平稳的因此过程是的方差随时间而改变因此于是有则设对于.,)var(00::0:232132121101tttttttttytytEaEyayaaayaayayyayy☆随机游走通常被比作一个醉汉的游走。BAR虽然随机游走过程是非平稳的，但是我们看到，它的一阶差分却是平稳的：ttttaxxx1有些研究表明，许多经济时间序列呈现出随机游走或至少有随机游走的成分，如股票价格，这些序列虽然是非平稳的，但它们的一阶(或高阶)差分却是平稳的。Box—Jenkins就是利用差分这种数学工具来使非平稳序列转化为平稳序列的。•1.设{xt}为零均值的平稳过程，如果关于xt的合适模型为（二）二阶自回归模型，AR(2)ttttaxxx2211其中：(1)at是白噪声序列,(2)假定：E(xt,as)=0(ts)，那么我们就说xt遵循一个二阶自回归或AR(2)随机过程。上述模型就是AR(2)模型。•2.AR(2)模型的等价形式ttttaxxx2211通过等价形式可以看出，AR(2)模型通过将xt中依赖于xt-1、xt-2的部分剔除掉，而使数据转化成了独立数据at。•1.如果关于xt的合适模型为:（三）一般自回归模型，AR(p)tptptttaxxxx2211那么，就称xt满足p阶自回归模型，记作AR(p)。（假设条件同前）•2.AR(p)模型的等价形式tptptttaxxxx2211通过等价形式可以看出，AR(p)模型通过将xt中依赖于xt-1、xt-2……xt-p的部分剔除掉，而使数据转化成了独立数据at。我们得到一个AR(p)模型后，要检验它是否符合实际主要就是通过检验模型的有关假设是否成立来进行的.例如，如果检验出残差序列at不是白噪声序列，那么该模型就不是合适的模型。