25极坐标与参数方程

极坐标与参数方程主要内容一、聚焦重点曲线的极坐标方程．三、廓清疑点参数方程的应用．二、破解难点参数方程与普通方程的互化．聚焦重点：极坐标方程问题研究如何求曲线的极坐标方程？如何根据极坐标方程研究曲线的性质？基础知识一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(r,q)=0；反之，极坐标适合方程f(r,q)=0的点都在曲线上．那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线.一般地,若(r,q)是点M的极坐标．极坐标系中点M的极坐标有无数个，统一表示为：(r,q+2kp)(k∈Z)或(－r,q+(2k+1)p)(k∈Z).基础知识通常，将直角坐标化为极坐标时，cossinxyrqrq，．222tan(0)xyyxx，．rq002πrq，．≤极坐标与直角坐标的互化例1在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C(2，3π)，半径R=5，求圆C的极坐标方程.经典例题xOC例1在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C(2，3π)，半径R=5，求圆C的极坐标方程.思路分析xOCP思路1：运用直接法，寻求点P的极径r与极角q的关系，即是圆的极坐标方程.思路2：化为直角坐标研究.x求解过程OC解设P(ρ，θ)是圆C上的任意一点，则PC=R=5.在△POC中，由余弦定理，得ρ2+22－2×2×ρcos(θ－3p)=5.化简，得ρ2－4ρcos(θ－3p)－1=0，此即为所求的圆C的方程.P设点列式化简检验过程解析xOC解将圆心π(2)3C，化成直角坐标为13（，）.(x－1)2＋(y－3)2=5.化简，得ρ2－4ρcos(θ－3π)－1=0，此即为所求的圆C的方程.再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2+(ρcosθ－3)2=5.y半径R=5,故圆C的直角坐标方程为（2）思想方法：化归转化思想．回顾反思（1）基本思路：(求曲线的极坐标方程)①直接法；（3）思维误区：在极坐标系中应用直角坐标系中的结论．②转化为直角坐标．回顾反思直接法求曲线的极坐标方程的一般步骤：①（建系）建立适当的极坐标系；②（设点）在曲线上任取一点P(r，q)；③（列式）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；④（化简）用极坐标r，q表示上述等式，并化简得极坐标方程；⑤（检验）证明所得的方程是曲线的极坐标方程．经典例题例2已知圆C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，圆C2的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－3p)－1=0，直线l的极坐标方程ρcosθ－ρsinθ=4．（1）求圆C1、C2圆心之间的距离；（2）求过点C1且与直线l垂直的直线的极坐标方程.思路分析例2已知圆C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，圆C2的极坐标方程为ρ2－4ρcos(θ－3p)－1=0，直线l的极坐标方程ρcosθ－ρsinθ=4．（1）求圆C1、C2圆心之间的距离；（2）求过点C1且与直线l垂直的直线的极坐标方程.思路1：在极坐标系中，研究方程和元素间的位置关系．思路2：转化为直角坐标研究．解（1）圆C1:ρ=2cosθ直角坐标方程为x2+y2－2x=0,圆心C1(10)，.圆C2：ρ2－4ρcos(θ－3p)－1=0的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－3)2=5，圆心C2(13)，.所以C1C2=3，即圆C1与C2圆心之间的距离为3.（2）直线l的直角坐标方程是40xy.所以过C1与l垂直的直线方程是10xy.化为极坐标方程为cossin10rqrq,即π2cos()42rq.过程解析破解难点：参数方程与普通方程互化问题研究普通方程与参数方程互化的关键是什么？一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数(),()()xfttDygt（1）并且对于t的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点()Pxy，都在这条曲线C上，那么方程组（1）就叫做这条曲线的参数方程.变数t叫做参变量或参变数，简称参数．基础知识经典例题3例3将下列参数方程化为普通方程，并指出它表示的曲线：（1）22xtyt，（t为参数）；（2）3cos[0]3sin2xyqqqp，，；（3）1()21()2axttbytt，（t为参数，a0，b0）．思路分析例3将下列参数方程化为普通方程，并指出它表示的曲线：（1）22xtyt，（t为参数）；（2）3cos03sin2xyqqqp，[，]；（3）1()21()2axttbytt，（t为参数，a0，b0）．思路1：应用代入消元．思路2：应用加减消元．过程解析解（1）所求的普通方程为220xy，它表示的曲线是直线．（2）所求的普通方程为229xy(0303)xy，≤≤≤≤，它表示的曲线是圆弧．（3）所求的普通方程为22221xyab（a0，b0），它表示的曲线是双曲线．回顾反思（2）基本思路：(曲线的参数方程化为普通方程)（1）目标意识：消参数！①代入消元；②加减消元．（3）误点警示：参数方程与普通方程的互化中，x、y的取值范围不一致，互化不等价．经典例题4例4选择适当的参数，将下列普通方程化为参数方程：（1）220xy；（2）229(0303)xyxy，≤≤≤≤．思路分析例4选择适当的参数，将下列普通方程化为参数方程：（1）220xy；（2）229(0303)xyxy，≤≤≤≤．思路：引入参数，将x，y用参数表示．解（1）直线的普通方程是y=2（x+1），OxxyP（x,y）P0令125555yxt．选择t为参数，若令xt．选择t为参数，直线的参数方程,22.xtyt过程解析直线的参数方程515255xtyt，．P(x,y)a过程解析xyO（2）设P（x，y）为曲线229xy(0303)xy，≤≤≤≤上的任一点，设∠POx=a，以a为参数，得曲线的参数方程3cos,[0,]3sin2xyaaap.回顾反思（1）思维点拨：同一条曲线可以用不同的变数作为参数．（2）误点警示：在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围．廓清疑点：参数方程的应用问题研究曲线的参数方程有什么作用？若圆的一般方程为222()()xaybr，它的一个参数方程为cossinqqxarybr，（q为参数）.若椭圆的方程为22221(0)xyabab，它的一个参数方程为cossinqqxayb，（q为参数）.若直线倾斜角为q，经过点00(,)Pxy，它的一个参数方程为00cossinqqxxtyyt，（t为参数）.基础知识例5已知直线l的参数方程为2xtyt，(t为参数),P是椭圆2214xCy：上任意一点.经典例题5（1）求点P到直线l的距离的最大值;（2）求直线l上到椭圆C的中心距离为5的点的坐标.思路1：直线l的普通方程为20xy.椭圆上任一点()Pxy，到l的距离为|2|5xyd．例5已知直线l的参数方程为2xtyt，(t为参数),P是椭圆2214xCy：上任意一点.（1）求点P到直线l的距离的最大值;思路分析较繁琐!yOxx思路分析思路2：直线l的普通方程为20xy.椭圆上任一点(2cossin)Pqq，,其中Rq.点P到直线的距离为22|2cos2sin|12dqq．思路2：直线l的普通方程为20xy.椭圆上任一点(2cossin)Pqq，,其中Rq.点P到直线的距离为22|2cos2sin|12dqq例5已知直线l的参数方程为2xtyt，(t为参数),P是椭圆2214xCy：上任意一点.（1）求点P到直线l的距离的最大值;例5已知直线l的参数方程为2xtyt，(t为参数),P是椭圆2214xCy：上任意一点.（2）求直线l上到椭圆C的中心距离为5的点的坐标.思路分析思路：直线上每个点对应一个参数，求出这个参数即可．解（1）因P为椭圆2214xy上任意点，故可设(2cos,sin)Pqq,其中Rq．依题意，直线l的普通方程为20xy．因此点P到直线l的距离是22|2cos2sin|12dqqπ22|sin()|45q，所以当4kqpp，Zk时,故点P为2(2)2，或2(2)2，时，d取得最大值552．过程解析（2）设所求点为()，Bxy，则2xtyt，．而椭圆C的中心为原点O，于是22OBxy=2245||ttt．所以5||5t，1t．所求点为(21)，和(21)，．过程解析回顾反思（1）思维策略：涉及圆、椭圆的最值问题，常利用圆或椭圆的参数方程，转化为三角函数的有界性问题．（2）思想方法：参数思想、化归转化思想．例6在极坐标系中，设圆C：ρ=3上的点到直线l：ρ（cosθ－3sinθ）=2的距离为d，求d的最大值．经典例题6例6在极坐标系中，设圆C：ρ=3上的点到直线l：ρ（cosθ+3sinθ）=2的距离为d，求d的最大值.思路分析思路1：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程229xy.直线ρ（cosθ+3sinθ）=2化为普通方程32xy.圆上任一点()Pxy，到得距离为|32|2xyd．yOxx例6在极坐标系中，设圆C：ρ=3上的点到直线l：ρ（cosθ+3sinθ）=2的距离为d，求d的最大值.思路分析思路2：圆上任一点(3cos3sin)Pqq，,其中Rq.点P到直线的距离为|3cos33sin2|2dqq过程解析解将极坐标方程ρ=3转化为普通方程229xy.直线ρ（cosθ+3sinθ）=2化为普通方程32xy.圆上任一点(3cos3sin)Pqq，,其中Rq.点P到直线的距离为|3cos33sin2|2dqq1|6sin()2|26ap当42Z)3kkapp，d取最大值4.故圆C上的点333()22，到直线l距离的最大,最大值为4．回顾反思①极坐标方程和直角坐标方程是几何图形在不同的坐标系中的不同表现形式．②参数方程和普通方程是几何图形在直角坐标系中的不同表现形式．（2）思想方法：参数思想、化归思想．（1）思维点拨：总结提炼一、聚焦重点：曲线的极坐标方程．三、廓清疑点：参数方程的应用．二、破解难点：参数方程与普通方程的互化．知识与内容总结提炼（1）曲线的参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程互化需注意等价性．（2）参数思想、转化思想．（3）类比已有知识，注重新旧知识的整合与循环上升．1.在平面直角坐标系xOy中，动圆228cosxyxq+-26sin7cos80yqq-++=（ÎqR）的圆心为(,)Pxy，求2xy-的取值范围.2.已知曲线C的参数方程为1,13()xttytt（t为参数，0t）.求曲线C的普通方程.同步训练3.已知椭圆2211612xy，求椭圆上的点到直线2120xy的距离的最小值，并求取得最小值时点的坐标.同步训练3.min455d，此时所求点为(23)，.参考答案1.73273xy≤≤.2.曲线C的普通方程为：2360xy.