4 函数的单调性与凹凸性的判别法

Nove.7Fri.Review1.局部Taylor展开式：余项。称为其中阶导数，则有：处有在若函数PeanoxxxxoxRxRxxnxfxxxfxxxfxfxfnxxfnnnnn))()(()()()(!)()(!2)())(()()()(0000)(20000002.带Lagrange余项的Taylor公式：时，有：特别地，当00x公式。余项的带MaclaurinPeanoxoxnfxfxffxfnnn)(!)0(!2)0()0()0()()(2)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn)()()!1()()(010)1(之间与介于其中xxxxnfxRnnn带Lagrange余项的Maclaurin公式：)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxfNove.4Fri.§4函数单调性与凸性的判别法函数单调性判别法函数的凸性及其判别法一.函数单调性的判别法xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xf。内单调递增或单调递减在则称或，都有，，内有定义，在设函数),()()()()()(),(),()(21212121baxfxfxfxfxfxxbaxxbaxfyabBA定义定理1。下降在；上升在，则，且设0)(],[)().20)(],[)().1),()(],[)(xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf，由上升，在),(],[)(.10baxbaxf证明：),(,0)()(baxxxxfxxf（极限的保号性）得0)()(lim0xxfxxfx.0)(xf定理上用，在Lagrangexxbaxx],[),(,2121),(),)(()()(211212xxxxfxfxf上是上升的。，在则],[)()(21baxfxf0)(1)(],[)(.200xfxfbaxf知，上升的，由是上是下降的，则在若；即0)(xf上升。在知，，由，则反之若],[)(10)(0)(0baxfxfxf下降。在所以],[)(baxf。的任意子区间内恒为不在；或上严格单调上升或下降在0),()().20)(0)().1],[)(baxfxfxfbaxf定理2成立。知，上严格上升，由在设011.],[)(thbaxf证明：则，有假设,0)(),(),(xfbaCxf)(，与条件矛盾。不是严格单调上升函数这表明)(xf严格上升。明内上升。现用反证法证在知由),()(,10baxf，但且，不严格上升，那么假设],[),()(baxf)()(ff是上升函数，所以因为)(xfxfxf),()(.0)(xf。矛盾！上恒为的子区间在说明0),(),()(baxf严格上升。)(xf；等号成立当且仅当，时，有证明当0)1ln(11.1xxxxxx例不等号成立。与须证时，显然等号成立。只当0010xxx证明：函数先证右端不等式。考虑0)0()1ln()(fxxxf，xxxxf1111)(于是有：上严格单调上升，在，时，),0((0)(0xfxfx).1ln(),0()(xxfxf即下降，也有：内严格单调在，时当)0,1()(0)(,01xfxfx11,00xxx时，现证明左端不等式：当，同样有：时，当0101xxx)1ln(11ln)11ln(1xxxxxx011xx)11ln(1xxxx).1ln(),0()(xxfxf即)1ln(1xxx即.)1ln(1xxxx上单调减少；在证明，上二次可导，且在设],0[)(0)(,0)0(],0[)(.2axxfxffaxf定理，在上二次可导，故由Lagrangexf)(证明：，使得),0(],,0[xax)()0()(fxfxf2)()()(xxfxfxxxf另一方面2)]0()([)(xfxfxfx2)()(xfxfxxfxf)()().()(0)(fxfxf可知，由上单调减少。在即，故],0[)(0)(axxfxxf上的最大值。在求函数),0[)(.32xexxfxxexxexf22)(解：)2(xxex;0)(20xfx时，当.0)(2xfx时，严格下降。上严格上升，在在因此连续函数),2(]2,0[)(xf上最大值。在为),0[)(4)2(2xfef注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．二.函数的凸性及其判别法问题:如何研究曲线的弯曲方向?ABCxyoxy2xyxy011xyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于弦的下方定义1。内是凹的在则称函数；若有：内是凸的在则称函数，总有：，对任一，，内有定义，若对在区间设函数)()()()()1())1(()()()()()1())1(()1,0()(212121212121concaveIxfxfxfxxfconvexIxfxfxfxxfxxIxxIxf若函数在整个区间上是凸的或凹的，则称函数是凸函数或凹函数。2x)(2xfxy01x))((121xxxf2x)(2xfxy01x)(1xf))(()(1211xxxfxf凸函数凹函数))(()()(12112xxxfxfxf))(()()(12112xxxfxfxf定义1’))(()()(12112xxxfxfxf可微若函数)(xf))(()()(12112xxxfxfxf凸函数凹函数。扭转点的拐点或为则称的，在另一边是凹的，的一边是凸的某一邻域内，在在若)()())(,()(0000xfxfxxxxf定义2定理内是凸的。在，则内内是凹的；若在在，则内有在若函数),()(0)(),(),()(0)(),()(baxfxfbabaxfxfbaxf证明：的情况。只证0)(xf公式：余项的处有带在，设TaylorLagrangexbaxx121),(,21111)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf，则有令2xx.),(21之间与介于，其中xxbax之间。与介于21xx,0)(f21212112)(!2)())(()()(xxfxxxfxfxf.0))(!2)(212xxf))(()()(12112xxxfxfxf是凸的。)(xf几何意义：若曲线弧个点处的切线斜率是单调增加的，则该曲线是下凸的；若各点处的切线斜率是单调减少的，则该曲线弧是上凸的。的凹凸区间及拐点；求函数；，3543)2(.2.1xyxyxy例求拐点的步骤：的点；求出使0)(.1xf有意义；不存在的点，但函数要求出)(.2xf..3函数的凹凸性考察在这些点的左、右的凸性；讨论例32)52(3xxy解：时，0x,13103xxy.129103xxxy时，0x导数不存在，二阶导数也不存在。0)(21xfx时，),0(),0,21(),21,(,),(210分区间将及用xxx)(xf)(xf)21,(21)0,21(0),0(0不存在凹凸凸不是拐点。拐点为)0,0(),23,21(3；，证明，设bbaabababalnln)2ln()(0.4证明：.),0(ln是凸的，利用凸性上在有关，经观察，不等式与函数yxxy,ln)(xxxf设)0(1)(1ln)(xxxfxxf，则时有：是凸的，故在可见0,0),0()(baxf)()]()([21)2(时等号成立babfafbafbbaababalnln2ln2即.lnln2ln)(bbaababa。证明，，的凸性；讨论bababaxy)1(100).2ln).1.51证明：.1,1120xyxy上是凹的；在),0(lnxy：时，由凹函数定义，有，当设baba0,020])1ln[(lnln)1(baba的指数，则：式两端取时，等号成立，将不等ebababa)1(1Hw：p1513(2,4,5,7)，4(2,3,4,5)，7(3,4)，8(2,4,6)，9(2)，10，11，12，1，3。0),(1)(21121innnaaaanaaa)(2121baab时，有更进一步有不等式：。超过它们的算术平均值个正数的几何平均值不nNove.9Wed.Review函数单调性判别法。下降在；上升在，则，且设0)(],[)().20)(],[)().1),()(],[)(xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf函数凸性及其判别法。下降在；上升在，则，且设0)(],[)().20)(],[)().1),()(],[)(xfbaxfxfbaxfbaDxfbaCxf。是凹的，函数；若有：是凸的，，有：，对任一，，若对)()()()()1())1(()()()()()1())1(()1,0(212121212121concaveIxxfxfxfxxfconvexIxxfxfxfxxfxxIxx若函数可微：))(()()(12112xxxfxfxf))(()()(12112xxxfxfxf凸函数凹函数内是凸的。在，则内内是凹的；若在在，则内有在若函数),()(0)(),(),()(0)(),()(baxfxfbabaxfxfbaxf函数凸性判别法：求拐点的步骤：的点；求出使0)(.1xf意义；不存在的点，函数要有求出使)(.2xf3.考察在这些点的左、右的凹凸性。函数的极值：极大值与极小值；处可导，且取得极值在件：函数取得极值的必要条0)()(.100xfxxf不是极值点。则严格单调，，或，有对处有极小值；在则时，时，处有极大值；在则时，时，内可微，若及在内连续在的极值可疑点，且是设件：函数取得极值的充分条02100200100000000000000000000)()0(0)(0)(),(),,(3)(,0)(),(,0)(),(2)(,0)(),(,0)(),(1),(),(),()()(.2xxfxfxfxxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxfxfxxxxfxxxxxxxxxxfxfx设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件).,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf注意:例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x极值可疑点：导数为零的点，导数不存在的点(尖点).xyoxyo0x0x求极值的步骤:);()1(xf求导数;0)()2(的根求驻点，即方程xf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf.)4(求极值(不是极值点情