高考数学 考前冲刺大题精做 专题09 函数与导数综合篇(教师版)

2013年高考数学考前冲刺大题精做专题09函数与导数综合篇（教师版）【2013高考会这样考】1、压轴题中若出现函数背景下的不等式问题，尝试构造函数，利用导数工具进行求解；2、方程的根的问题注意转化为零点的问题进行探讨，可以利用函数的单调性和零点存在性定理进行求解；3、数列是特殊的函数，可以结合函数的性质研究数列问题.【原味还原高考】【高考还原1：（2012年高考（陕西理））】设函数()(,,)nnfxxbxcnNbcR（1）设2n,1,1bc,证明:()nfx在区间1,12内存在唯一的零点;（2）设2n,若对任意12,xx[1,1],有2122|()()|4fxfx,求b的取值范围;（3）在（1）的条件下,设nx是()nfx在1,12内的零点,判断数列23,,,nxxx的增减性.于是有11111111()0()11()nnnnnnnnnnnnfxfxxxxxfx【高考还原2：（2012年高考（湖南理））】已知函数()fx=axex,其中a≠0.（1）若对一切x∈R，()fx≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函数()fx的图像上取定两点11(,())Axfx,22(,())Bxfx12()xx，记直线AB的斜率为K，问：是否存在x0∈(x1,x2)，使0()fxk成立？若存在,求0x的取值范围；若不存在，请说明理由.【名师点拨】第（1）问利用导函数法求出()fx取最小值11111(ln)ln.faaaaa对令()1tFtet,则()1tFte.当0t时,()0,()FtFt单调递减;当0t时,()0,()FtFt单调递增.故当0t,()(0)0,FtF即10.tet【高考还原3：（2012年高考（山东理））】已知函数ln()xxkfxe（k为常数,2.71828e是自然对数的底数），曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴平行.（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求()fx的单调区间；（Ⅲ）设2()()'()gxxxfx,其中'()fx为()fx的导函数.证明:对任意20,()1xgxe.当),0(2ex时0)(xq;当)1,(2ex时0)(xq,则当10x时221)()ln1(1)(eeqxxxq,且0)(xq,则当10x时221)()ln1(1)(eeqxxxq于是可知当10x时221ln11)(eexxxxx成立.【名师解析】（1）由ke得()xfxeex，所以()xfxee．令0)('xf，得0eex，解得1x．调递增又(0)=10f，11()10,kfek()xfxekxxR，．当0k时，()xfxe0对Rx恒成立，所以函数()fx在]4,(上无零点．当4(,+)(,0)4ek或ek时，函数()fx在]4,(上有1个零点；当[0)ke，时，函数()fx在]4,(上无零点．【名师剖析】【经典例题2】集合A＝{|lgxRyx}，B＝{2|22(1)(1)0xRxaxaa}，D＝A∩B.（1）当a＝2时，求集合D(用区间表示)；（2）当102a时，求集合D(用区间表示)；（3）在（2）的条件下，求函数32()43(12)6fxxaxax在D内的极值点.7分③当1132a时0xR对0hxBR0DABA，………………8分（3）2126126fxxaxa试题重点：本体的难度呈现梯层配置，从易到难，实现了压轴题的完美配置，主要考查：1、导数的基本运算;2、利用导数法求函数的极值；3、利用导数法判断函数的单调性；4、利用导数法做函数的图象。试题难点：本题的第（3）问是难点，必须明确分类的标准，进而进行讨论.令F'(x)=0，得121,2xx………7分当x变化时，F'(x)、F(x)的变化情况如下表：、求证：ln(1+21a1)+ln(1+22a1)+…+ln(1+2a1n)222nn．【名题巧练3】已知函数()lnfxxax在1x处的切线l与直线20xy垂直，函数21()()2gxfxxbx．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若函数()gx存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设1212,()xxxx是函数()gx的两个极值点，若72b，求12()()gxgx的最大值．【名题出处】2013福建省厦门市高中毕业班质量检测∵01t，∴241740tt，∴104t，115()()2ln248hth，故所求最小值为152ln28--13分【名题巧练4】已知函数2()ln(1)fxaxaxx.（Ⅰ）若1x为函数()fx的零点，求a的值；（Ⅱ）求()fx的极值；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，222134232)1ln(nnn.【名题出处】2013福建省漳州市高中毕业班质量检测【名师点拨】（Ⅰ）利用“(1)0f”进行求解；（Ⅱ）求导，对a的取值范围进行分类讨论得到函数的极值；（Ⅲ）利用“2ln(1)xxx”进行求解【名师解析】（Ⅰ）因为(1)0f，所以ln210aa，解得1ln21a.…………………………3分（Ⅱ）22()2()211axxafxaxxx，………………4分【名题巧练5】已知nN*，设函数2321()1,2321nnxxxfxxxnR.（1）求函数y2()fxkxk(R)的单调区间；（2）是否存在整数t，对于任意nN*，关于x的方程()0nfx在区间1tt,上有唯一实数解，若存在，求t的值；若不存在，说明理由.【名题出处】2013江西省景德镇市高中毕业班质量检测【名师点拨】（1）利用二次函数的观点求解单调区间；（2）分类讨论进行求解.若1x且0x时，则211()1nnxfxx,……………9分【名题巧练6】已知函数xaxaxxgln)12()(2（1）当1a时,求函数)(xg的单调增区间；（2）求函数)(xg在区间e,1上的最小值；（3）在（1）的条件下，设xxxxgxfln24)()(2,证明：)2()1(23)(122nnnnnkfknk.参考数据：6931.02ln.)2()1(232nnnnn其最小值为1111()lnln22222mFmmmmmm………13分综上，当1m时，()Fx在[1,e]上的最小值为(1)0F，由①②③，得1a，1b，1c.…………5分当),1(x时,)1()(hxh，即1lnxx，………11分亦即ln1xx对一切(1,)x都成立，当x∈(2a2a，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)在(2a2a，＋∞)是增函数．…4分[【名题巧练10】已知函数21()22fxaxx，()gxlnx.（1）如果函数()yfx在[1,)上是单调减函数，求a的取值范围；（2）是否存在实数0a，使得方程()()(21)gxfxax在区间1(,)ee内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．