热力学与统计物理期末考试整理

热力学与统计物理期末考试简答题第七章：•能量均分定理：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量表达式中每一个独立平方项的平均值等于kT/2。•主要的不足之处：•1.低温下氢的热容量所得结果与实验不符。•2.解释不了原子内电子对气体的热容量为什么没有贡献。•3.解释不了双原子分子的振动为什么对系统的热容量没有贡献。（见7.5节原因分析）•关于“双原子分子的振动为什么对系统的热容量没有贡献”的叙述性解释•在常温范围内双原子分子的振动能级间距远大于kT.由于能级分立，振子必须取得能量才有可能跃迁到激发态。在的情况下，振子取得的热运动能量而跃迁到激发态的概率是极小的。因此几乎全部振子都冻结在基态。当气体温度升高时，它们几乎不吸收能量。这就是在常温下振动自由度不参与能量均分的原因。vT第八章：•波色——爱因斯坦凝聚：在时，宏观量级的粒子在能级凝聚，这一现象称为波色——爱因斯坦凝聚。•对于波色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此绝对零度下波色粒子将全部出在的最低能级。凝聚在•的粒子集合称为玻色凝聚体。凝聚体不但能量、动量为零，由于凝聚体的微观状态完全确定，熵也为零。凝聚态中的粒子动量为零，对压强就没有贡献。0cTT00第三章•单元系的复相平衡条件•整个系统达到平衡时，两相的温度、压强和化学势必须分别相等。这就是单元复相系达到平衡所要满足的平衡条件。βαβαβαμμppTT(热平衡条件)（力学平衡条件）（相变平衡条件）第四章•化学平衡条件单相化学反应的化学平衡条件。0iiiv如果由化学平衡条件求得的满足，反应就可以达到平衡。abnnnn多元复相系的平衡条件TTT21ppp21ii1,2,1ki,2,1平衡条件全部用强度量决定。证明题2.8证明2222,,pVTVpTCCpVTTVTpT并由此导出00202202,.VVVVVppppppCCTdVTpCCTdpT根据以上两式证明，理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度T的函数.解：式（2.2.5）给出.VVSCTT（1）以T，V为状态参量，将上式求对V的偏导数，有2222,VTVCSSSTTTVVTTVT（2）其中第二步交换了偏导数的求导次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.3）.由理想气体的物态方程pVnRT知，在V不变时，p是T的线性函数，即220.VpT所以0.VTCV这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T的函数.在恒定温度下将式（2）积分，得0202.VVVVVpCCTdVT（3）式（3）表明，只要测得系统在体积为0V时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.这意味着，理想气体的定容热容量只是温度T的函数.在恒定温度下将式（2）积分，得0202.VVVVVpCCTdVT（3）式（3）表明，只要测得系统在体积为0V时的定容热容量，任意体积下的定容热容量都可根据物态方程计算出来.同理，式（2.2.8）给出.ppSCTT（4）以,Tp为状态参量，将上式再求对p的偏导数，有2222.ppTCSSSTTTppTTpT（5）其中第二步交换了求偏导数的次序，第三步应用了麦氏关系（2.2.4）.由理想气体的物态方程pVnRT知，在p不变时V是T的线性函数，即220.pVT所以0.pTCp这意味着理想气体的定压热容量也只是温度T的函数.在恒定温度下将式（5）积分，得0202.pppppVCCTdpT式（6）表明，只要测得系统在压强为0p时的定压热容量，任意压强下的定压热容量都可根据物态方程计算出来.3.1证明下列平衡判据（假设S0）；（a）在,SV不变的情形下，稳定平衡态的U最小.（b）在,Sp不变的情形下，稳定平衡态的H最小.（c）在,Hp不变的情形下，稳定平衡态的S最小.（d）在,FV不变的情形下，稳定平衡态的T最小.（e）在,Gp不变的情形下，稳定平衡态的T最小.（f）在,US不变的情形下，稳定平衡态的V最小.（g）在,FT不变的情形下，稳定平衡态的V最小.解：为了判定在给定的外加约束条件下系统的某状态是否为稳定的平衡状态，设想系统围绕该状态发生各种可能的自发虚变动.由于不存在自发的可逆变动，根据热力学第二定律的数学表述（式（1.16.4）），在虚变动中必有đ,UTSW（1）式中U和S是虚变动前后系统内能和熵的改变，đW是虚变动中外界所做的功，T是虚变动中与系统交换热量的热源温度.由于虚变动只涉及无穷小的变化，T也等于系统的温度.下面根据式（1）就各种外加约束条件导出相应的平衡判据.（a）在,SV不变的情形下，有0,đ0.SW根据式（1），在虚变动中必有0.U（2）如果系统达到了U为极小的状态，它的内能不可能再减少，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,SV不变的情形下，稳定平衡态的U最小.（b）在,Sp不变的情形下，有0,đ,SWpdV根据式（1），在虚变动中必有0,UpV或0.H（3）如果系统达到了H为极小的状态，它的焓不可能再减少，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,Sp不变的情形下，稳定平衡态的H最小.（c）根据焓的定义HUpV和式（1）知在虚变动中必有đ.HTSVppVW在H和p不变的的情形下，有0,0,đ,HpWpV在虚变动中必有0.TS（4）如果系统达到了S为极大的状态，它的熵不可能再增加，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,Hp不变的情形下，稳定平衡态的S最大.（d）由自由能的定义FUTS和式（1）知在虚变动中必有đ.FSTW在F和V不变的情形下，有0,đ0,FW故在虚变动中必有0.ST（5）由于0S，如果系统达到了T为极小的状态，它的温度不可能再降低，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,FV不变的情形下，稳定平衡态的T最小.（c）根据焓的定义HUpV和式（1）知在虚变动中必有đ.HTSVppVW在H和p不变的的情形下，有0,0,đ,HpWpV在虚变动中必有0.TS（4）如果系统达到了S为极大的状态，它的熵不可能再增加，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,Hp不变的情形下，稳定平衡态的S最大.（d）由自由能的定义FUTS和式（1）知在虚变动中必有đ.FSTW在F和V不变的情形下，有0,đ0,FW故在虚变动中必有0.ST（5）由于0S，如果系统达到了T为极小的状态，它的温度不可能再降低，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,FV不变的情形下，稳定平衡态的T最小.（e）根据吉布斯函数的定义GUTSpV和式（1）知在虚变动中必有đ.GSTpVVpW在,Gp不变的情形下，有0,0,đ,GpWpV故在虚变动中必有0.ST（6）由于0S，如果系统达到了T为极小的状态，它的温度不可能再降低，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,Gp不变的情形下，稳定的平衡态的T最小.（f）在,US不变的情形下，根据式（1）知在虚变动中心有đ0.W上式表明，在,US不变的情形下系统发生任何的宏观变化时，外界必做功，即系统的体积必缩小.如果系统已经达到了V为最小的状态，体积不可能再缩小，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,US不变的情形下，稳定平衡态的V最小.（g）根据自由能的定义FUTS和式（1）知在虚变动中必有δδđ.FSTW在,FT不变的情形下，有δ0,δ0,FT必有đ0W（8）上式表明，在,FT不变的情形下，系统发生任何宏观的变化时，外界必做功，即系统的体积必缩小.如果系统已经达到了V为最小的状态，体积不可能再缩小，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,FT不变的情形下，稳定平衡态的V最小.8.4光子气体一、空窖中的（电磁）辐射场一封闭空窖，窖壁原子不断向空窖发射并从空窖吸收电磁波，经过一定时间，空窖内的电磁辐射和窖壁达到平衡，称为平衡辐射。（研究对象）2、光子观点1、波动观点二、普朗克公式光子气体系统的统计分布11lllae能级上每一个量子态的平均光子数lkpcpck1leall(光子子数不守恒)decVdTUkT1,3320Nall0Ealll黑体、黑体辐射cp（1）在范围内，光子可能的量子态数为zyxdpdpdxdydzdp3hdpdpdxdydzdpzyx2（2）在体积V内，在的动量大小范围内，在动量方向范围内，光子可能的量子态数为dpppdd,32sin2hddpdVp（3）在体积V内，在的动量大小范围内，光子可能的量子态数为dppp328hdpVp（4）在体积V内，在的能量范围内，光子可能的量子态数为d（5）在体积V内，在的圆频率范围内，光子可能的量子态数为d能级上每一个量子态的平均光子数l11lllae328chdV322cdV（7）在体积V内，在的圆频率范围内的光子对辐射场内能的贡献为d普朗克公式辐射场内能按频率的分布（6）在体积V内，在的圆频率范围内，光子数为ddcV32211edecVkT1232decVkT1232dTUdecVkT,13326.1试根据式（6.2.13）证明：在体积V内，在到dε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为132232d2d.VDmh解:式（6.2.13）给出，在体积3VL内，在xp到d,xxyppp到d,yyxppp到dxxpp的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为3ddd.xyzVppph（1）用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量，并对动量方向积分，可得在体积V内，动量大小在p到dpp范围内三维自由粒子可能的量子态数为234πd.Vpph（2）上式可以理解为将空间体积元24dVpp（体积V，动量球壳24πdpp）除以相格大小3h而得到的状态数.自由粒子的能量动量关系为2.2pm因此2,d.pmppmd将上式代入式（2），即得在体积V内，在到d的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为132232π()d2d.VDmh（3）6.2试证明，对于一维自由粒子，在长度L内，在到d的能量范围内，量子态数为122dd.2LmDh解:根据式（6.2.14），一维自由粒子在空间体积元ddxxp内可能的量子态数为dd.xxph在长度L内，动量大小在p到dpp范围内（注意动量可以有正负两个可能的方向）的量子态数为2d.Lph（1）将能量动量关系22pm代入，即得122dd.2LmDh（2）6.3试证明，对于二维的自由粒子，在面积2L内，在到d的能量范围内，量子态数为222π.LDdmdh解:根据式（6.2.14），二维自由粒子在空间体积元ddddxyxy