高等数学-习题答案-方明亮-第四章

1习题4-11.求下列不定积分：（1）解：Cxxxxxxxxx25232122d)5(d)51(（2）解：xxxd)32(2Cxxx3ln296ln622ln24（3）略.(4)解：xxxxxxxd)1(cscd11d)cot11(2222=Cxxxcotarcsin(5)解：xxxd2103Cxxxxxx80ln80d80d810(6)解：xxd2sin2=Cxxxxsin2121d)cos1(21(7)xxxxdsincos2cosCxxxxxxxxxxcossind)sin(cosdsincossincos22(8)解：xxxxdsincos2cos22xxxxxxxxd)cos1sin1(dsincossincos222222Cxxtancot(9)解：xxxxxxxxxdtansecdsecd)tan(secsec2Cxxsectan(10)解：},,1max{)(xxf设1,11,11,)(xxxxxxf则.上连续在),()(xf，)(xF则必存在原函数，1,2111,1,21)(32212xCxxCxxCxxF须处处连续，有又)(xF)21(lim)(lim12121CxCxxx，,21112CC即)(lim)21(lim21321CxCxxx，,12123CC即.2,1CC联立并令.1,2132CCCC＋可得.1,12111,211,21},1max{22xCxxCxxCxdxx故2.解：设所求曲线方程为)(xfy，其上任一点),(yx处切线的斜率为3ddxxy，从而Cxxxy4341d由0)0(y，得0C，因此所求曲线方程为441xy.3.解：因为xxxcossinsin212，xxxsincoscos212xxxxcossin2sin212cos41所以x2sin21、x2cos21、x2cos41都是xxcossin的原函数.习题4-21.填空.(1)21xxd=d(x1+C)(2)xxd1=d(xln+C)(3)xexd=d(xe+C)(4)xxdsec2=d(xtan+C)(5)xxdsin=d(xcos+C)(6)xxdcos=d(xsin+C)(7)xxd112=d(xarcsin+C)(8)xxxd12=d(21x+C)(9)xxxdsectan=d(xsec+C)(10)xxd112=d(xarctan+C)3(11)xxxd)1(1=d(2xarctan+C)(12)xxd=d(22x+C)2.求下列不定积分：(1)解：xxxd42)4d()4(21)24d(41221222xxxxCxCx4)4(2212(2)解：xxxdln4Cxxx5ln)d(lnln54(3)解：xxexd21Cexexx11)1d((4)解：xeeexxxd)22(32Ceeeeeexxxxxx22131)d()22(4332(5)解：294dxxCxxxxx23arcsin31)23(1)23d(31)23(12d22(6)解：xxxxd)ln(ln12Cxxxxxxln1)lnd()ln(12(7)解：xxxxdlnlnln1Cxxxxxxlnlnln)lnd(lnlnln1)d(lnlnlnln1(8)解：xeexxd1Ceeexxxarctan)d(112(9)解：xxdcos4xxxxxd42cos2cos21d)22cos1(22xxxd)42cos22cos41(242sinxxxxd24cos142sin3xxCx44sin(10)解：xxxxxdcossincossin3Cxxxxxx323)cos(sin2)cosd(sincossin1(11)解：xxdcos3xxxdcoscos2)d(sinsin12xxCxx3sinsin34(12)解：xxxd1102arccos)d(arccos10arccosxxCx10ln10arccos(13)解：xxxd1arcsin2Cxxx2arcsin)d(arcsinarcsin2(14)解：xxxdsincosCxxxsin2)d(sinsin1(15)解：xxxxd)1(arctan)d()(1arctan2d1arctan22xxxxxxCxxx2)(arctan)d(arctanarctan2(16)解：xxxdcossin53xxxxxxcosdcos)cos1(cosdcossin5252Cxx68cos61cos81(17)解：xxxdsectan53xxxxxxsecdsec)1(secsecdsectan4242Cxxx57sec51sec71(18)解：Cxxxxxxxxcos219cos181d2sin9sind4sin5cos(19)解：xxxdsectan43xxxxxxtand)1(tantantandsectan2323Cxxx56tan41tan61(20)解：令tx6，则6tx，ttxd6d5，代入原式得Ctttttttttxxxarctan66d1116d6)1(1d)1(1225233=Cxx66arctan66(21)解：令txsec，]2,0[t，tttxdtansecd，则Ctttttttxxxddtansectansec1d112=Cx1arccos(22)解：)1d(1)1(1)1d(1)1(1d112222xxxxxxxxx5)1)1d((1)1(1222xx1)1(22xCxx212习题4-3求下列不定积分（1）解：xxxd2sin)2cosd(21xxxxxxd2cos212cos2Cxxx2sin412cos2（2）解：xxexdCexexexeexxxxxxdd（3）解：xxxdln2xxxxxxxxxxd3ln3)d(ln3ln3)3d(ln23333Cxxx9ln333（4）略.（5）解：xxxdcos2xxxxxxxxxxxdsin2sindsinsinsind2222xxxxxxxxxxdcos2cos2sincosd2sin22Cxxxxxsin2cos2sin2（6）解：因为xxexd2sinxexd2sin)2d(sin2sinxexexx)d(2cos22sinxxexxe)2d(cos22cos22sinxexexexxxxxexexexxxd2sin42cos22sin于是xxexd2sinCxexexx52cos22sin（7）解：xxxdarctan2xxxxxxarctand3arctan33darctan333xxxxxd131arctan3233xxxxxxxd131arctan3233Cxxxx)1ln(31arctan32236（8）解：xxxdcos2xxxxxxxd)2cos(21d22cos1xxxxd2cos2142xxx2sind4142xxxxxd2sin412sin4142Cxxxx2cos812sin4142（9）解：xxxdarcsin1xxxxxxarcsind2arcsin2darcsin2xxxxd11arcsin2Cxxx12arcsin2（10）解：xexxd32xxxxxexexxxeexex33233232d923d323d31Cexeexxxx3332272923（11）解：因为xxdlncosxxxxxxxxdlnsinlncoslncosdlncosxxxxxxlnsindlnsinlncosxxxxxxdlncoslnsinlncos于是xxdlncosCxxxx2lnsinlncos（12）解：xxfxd)(Cxfxfxxxfxfxxfx)()(d)()()(d习题4-4求下列不定积分（1）解：xxxd13xxxxxxxxd11d)1(d11123Cxxxx1ln2323（2）解：xxxxxd8345xxxxxxxxd8d)1(3227xxxxxxxd)13148(d)1(2Cxxxxxx1ln31ln4ln82323（3）解：xxxxxd)1)(2(1322222xxd21xxxxxxd)1(43d12222xxxxxxxxxd)1(4)1()1d(23d1121)1d(212ln22222222Cxxxxxxxarctan212)1(23arctan2)1ln(212ln222（上式最后一个积分用积分表公式28）（4）解：xxxxxd)1(411622xxxxd])1(1124[2Cxxx111ln2ln4Cxxx11)1(ln22（5）解：xxxxxd123xxxxd)1)(1(2xxxxxd11211d212Cxxxarctan21)1ln(411ln212（6）解：xx2sin3dxx2cos7d2xutan243duu2)32(1d31uuCx3tan2arctan321（7）解：311dxx31xtttt1d32tttd)111(3Cttt1ln232（8）解：xxxxd11xxt11ttttd)1)(1(4222ttttd)121111(2Ctttarctan211ln习题4-5利用积分表计算下列不定积分：8（1）245dxxx解：因为245dxxx2)2(1)2d(xx在积分表中查得公式（73）Caxxaxx)ln(d2222现在1a，2xx，于是245dxxxCxxx)245ln(2（2）xxdln3解：在积分表中查得公式（135）xxnxxxxnnndln)(lndln1现在3n，重复利用此公式三次，得xxdln3Cxxxxxxx6ln6ln3ln23.（3）xxd)1(122解：在积分表中查得公式（28）baxxbbaxbxxaxb2222d21)(2d)(1于是现在1a，1b，于是xxd)1(122Cxxxxxxxarctan)1(21d21)1(2222（4）1d2xxx解：在积分表中查得公式（51）Cxaaxaxxarccos1d12于是现在1a，于是1d2xxxCx1arccos