高等数学-无穷小的比较

1复习二、两个重要极限1sinlim0xxxexxx)11(lim一、极限存在准则夹逼准则；单调有界准则220(1)lim25xxx34(2)lim(sin2)154(3)lim1xxxx0sin(4)limxxx(5)lim2sin2nnxx123(6)lim()6xxxx3sinsin(7)limxxx2sincos22=limxxxx解：原式sincos22=lim2xxxxsin2=limlimcos22xxxxxcos和差化积公式45222111(8)lim()112nnnnn证明22222111121nnnnnnnnn证21limlim111nnnnnn而221limlim1111nnnnn由夹逼准则，即得证.6p376习题选解：、函数y=xcosx在(-,+)内是否有界？这个函数是否为x时的无穷大？为什么？00000,(,),cos1,cos,cosMxMxyxxMyxx解：使从而在(-,+)内无界.11110,X0,(,),cos0,cos0,cosMxXxyxxMyxxx又使从而不是时的无穷大.§1-7无穷小的比较20limxxxxxxsinlim02210,,,sin,sin,1cos,tan.xxxxxxxx时都是无穷小极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.2;xx比趋近0的速度要快得多sin;xx与趋近0的速度大致相同,0,1观察各极限型）（00一、无穷小的比较20lim,xxx；记作高阶的无穷小是比，就说如果)(,0lim)1(o1.定义:.0,,且穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3(是同阶的无穷小与就说如果Clim1,;~;特殊地，如果则称与是等价的无穷小记作低阶的无穷小．是比，就说如果２lim)(0lim0故.,0,0lim)4(阶的无穷小的是就说如果kkCk9，1sinlim)2(0xxx;302高阶的无穷小是比时，当xxx).0()3(2xxox即0sinxxx当时，与是等价无穷小．).0(~sinxxx即例1(3)lim1nnn2，211nnn当时，是比低阶的无穷小．，21cos1lim)4(20xxx．的二阶无穷小是关于时，当xxxcos10，03lim)1(20xxx10注意：2.无穷小的阶的高低是相对的；除了恒等于零的常数外，在自变量的同一变化过程中不存在阶最高的或阶最低的无穷小；1.处在同一变化过程中的无穷小才能作阶的比较，但不是所有的无穷小都能比较。3.有两个重要的符号（）和00lim11例1.证明:当时,证:～nnab()ab1(na2nab1)nb0,x当时12证必要性，设~1limlim，0．，即)()(oo充分性．设)(o)(limlimo）（１＋)(limo，1．~()称是的主要部分．意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．二、等价无穷小的性质1.1定理与是等价().o无穷小13例如,),(sinxoxxtan(),xxox,0时当xsin~,tan~,xxxx）＜＜很小时（记为故当1xxxxxxxx)1ln(tansin~ln(1)xx)()1ln(xxx2.设在某个过程中，均为无穷小，则,,123（）（）（），（自反性）（对称性）（传递性）3.常用等价无穷小:,0时当x2~sin~tan~arcsin~arctan1~1,1cos~,(1~ln(1)1~(0)2)xaxxxxxxxexxxaxa0log(1x)limaxx求1loglnaea0limlog(1x)lnaxxa0lim1lnxxaxa15三、等价无穷小代换025tanlimsinxxx如求定理2(等价无穷小代换定理).limlim,lim~,~则存在且设证lim)lim(limlimlim.lim02255limxxx说明：1.limlimlim'limlimlim''可得（若存在）同理（若存在）16~,~lim,limlim.设且存在则''''limlimlimlim且''''limlimlimlim且记：2.limlimlim可得（若存在）17若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．2、即定理条件满足时，可以代换积中因式的无穷小.补充说明：1、即定理条件满足时，可以只代换分子或分母.303sinlim.xxxx如求求极限的又一种好方法,注意适用条件.18例4.cos12tanlim20xxx求解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.8例5.求1320(1)1lim.cos1xxx解:例6.2sinsintanlim30xxxx求解.~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx原式.0解,0时当x)cos1(tansintanxxxx,21~3x,2~2sinxx330)2(21limxxx原式.161错不能滥用等价无穷小代换.切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.注意练习：P56,5（3,4）P66，4（6）P72，9（4）2001-coslim(1cos)xxxx补例1：求12232(1)arcsin(2)(1x)1(3)cos1(4)tanxxx补例：将下列x0的无穷小按低阶到高阶的次序排列起来：21四、小结1、无穷小的比较反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.2201sinlimxxxx不可比.xx1sinlim0.不存在作业：P55:2，3，4，5(1)(3)(4)P66:3.(4)(8)22