高等数学-第六章 定积分的应用

第六章利用元素法解决:定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用定积分的应用第一节定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?第六章表示为一、什么问题可以用定积分解决?1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法称为元素法(或微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值三、已知平行截面面积函数的立体体积第二节一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用第六章ybxa)(2xfy)(1xfyO一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为A,右下图所示图形面积为xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfyxxdxxxxd例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点)1,1(,)0,0(xxxAd)(d231xyOxy22xyxxxd)1,1(1Oxy224xyxy例2.计算抛物线xy22与直线的面积.解:由得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184xy所围图形)2,2(为简便计算,选取y作积分变量,则有42Ayyydab例3.求椭圆解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程π)20(sincosttbytax应用定积分换元法得2π02dsin4ttbaba4212πbaπ当a=b时得圆面积公式xxxdxyO2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.)(rd在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212AxO对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:dd)(212aπ20A22a3310π223π34a到2所围图形面积.aπ2xOxa2Ottadcos82π042例6.计算心形线所围图形的面积.解:dd)cos1(2122aπ02ad2cos44(利用对称性)2t令2π23a二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,0M1iMiMnM当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni10lims则称OAByxsdabyxO(1)曲线弧由直角坐标方程给出:)(xfy弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3)曲线弧由极坐标方程给出:,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)]([)]([22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):(自己验证)例11.计算摆线一拱的弧长.解:tstytxd)()(d2dd2dd)cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2π202cos22ta0π2a8xyOaπ2d222aa例12.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:)0(aard)()(d22rrsd12ad1π202as212a21ln210π2raπ2Oar三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabx)(xA上连续,Oxy)(yx特别,当考虑连续曲线段2)]([πxf轴旋转一周围成的立体体积时,有xdbaV当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有2)]([πyyddcVycdxyabxyabO)(xfyxayxb例13.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则xxaabad)(π220222(利用对称性)322231π2xxaab0a2π34abOaV02xydπ2x方法2利用椭圆参数方程则xyVadπ202ttabdsinπ2322π2ab322π34ab1特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积.π343aayxbOxaπ2xyO例14.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.0≤t≤2π解:绕x轴旋转而成的体积为xyVaxdππ202利用对称性π022)cos1(π2tattad)cos1(ttad)cos1(π2π033ttad2sinπ16π063uuadsinπ322π0633π32a6543212π32π5aaπy)2(tu令xyadπ2π02xyOaπ2aπ绕y轴旋转而成的体积为a222)sin(πttattadsinπ2)(2yxxπ22)sin(πttattadsin0π注意上下限!π2023dsin)sin(πtttta注)(1yxx例16.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,222Ryx解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.ORxyxORx),(yxyR思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?)(yA提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程直角坐标方程3.已知平行截面面积函数A(x)的立体体积旋转体的体积2π)(yxA绕x轴:绕y轴:思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为,)3,9(,)1,1(yAd312yx032yxyxO13y)32(y2y332yd31241yyd31弧线段部分直线段部分s以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.作业P2843;12;18第三节一、变力沿直线所作的功二、液体的侧压力三、引力问题定积分在物理学上的应用第六章一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从xa移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间上所作的功为baxxFWd)(例1.一个单求电场力所作的功.qOrabrrrd11解:当单位正电荷距离原点r时,由库仑定律电场力为则功的元素为rrqkWdd2所求功为rqk1ab)11(baqk说明:aqk位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(ab),在一个带+q电荷所产生的电场作用下,S例2.体,求移动过程中气体压力所Ox解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b处(如图),作的功.ab建立坐标系如图.xxxd由波义耳—马略特定律知压强p与体积V成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气面积为A的平板二、液体的侧压力设液体密度为深为h处的压强:hgph当平板与水面平行时,ApP当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••小窄条上各点的压强xgp332Rg例4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解:建立坐标系如图.所论半圆的)0(Rx利用对称性,侧压力元素RP0xxRxgd222OxyRxxxd222xRPdxg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为0arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR说明:当桶内充满液体时,),(xRg小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为奇函数3Rg)(xRgRxxRgR022d4tRxsin令OxyRxxxd三、引力问题质量分别为的质点,相距r,1m2mr二者间的引力:大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.例5.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,M该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.y2l2l]d,[xxx细棒上小段对质点的引力大小为dkFxmd22xa故铅直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在试计算FdxFdyFdxxd利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd2lOy2laxxxdx说明:amk22)若考虑质点克服引力沿y轴从a处1)当细棒很长时,可视l为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b(ab)处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyy则有22412llmkFaalOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,内容小结(1)先用元素法求出它的微分表达式dQ一般元素的几何形状有:扇、片、壳等.(2)然后用定积分来表示整体量Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,转动惯量等.条、段、环、带、作业:P2913,9,12习题课1.定积分的应用几何方面:面积、体积、弧长、表面积.物理方面:质量、作功、侧压力、引力、2.基本方法:元素法元素形状:条、段、带、片、扇、环、壳等.定积分的应用第六章表示为一、什么问题可以用定积分解决?1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法称为元素法(或微元分析法)元素的几何形状常