高等数学-高阶导数

上页下页铃结束返回首页1主要内容：第二章导数与微分第二节反函数与复合函数的导数隐函数的导数一、隐函数的导数.二、由参数方程确定的函数的导数；三、高阶导数.上页下页铃结束返回首页2一、隐函数的导数定义:.0),(数所确定的函数称为隐函由方程yxF.)(形式称为显函数xfy0),(yxF)(xfy隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.上页下页铃结束返回首页3例1.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程解,求导方程两边对x0dxdyeedxdyxyyx解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知000yxyxxexyedxdy.1上页下页铃结束返回首页4隐函数求导法则隐函数求导步骤：A、对方程两边求导；B、方程仅含x的式子按正常求导；凡含y的式子要按复合函数求导，且结果必有C、将的系数合并移项到等式左边，其余移项到等式右边，求解出。)(dxdyy或yy上页下页铃结束返回首页5.,23,23,333线通过原点在该点的法并证明曲线的切线方程点上求过的方程为设曲线CCxyyxC解,求导方程两边对xyxyyyx333322),(),(2323222323xyxyy.1所求切线方程为)23(23xy.03yx即2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.例2上页下页铃结束返回首页6对数求导法观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法.)(.)(:导数多个函数的连乘除的求幂指函数的求导数该方法主要用于21上页下页铃结束返回首页7例3解]142)1(3111[)4(1)1(23xxxexxxyx等式两边取对数得xxxxy)4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得上式两边对x142)1(3111xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx求设上页下页铃结束返回首页8例4解.),0(sinyxxyx求设等式两边取对数得xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx上页下页铃结束返回首页9一般地)0)(()()()(xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd又)(ln)()(xfdxdxfxf])()()()(ln)([)()()(xuxuxvxuxvxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf上页下页铃结束返回首页10随堂练习.,1sin.1dxdyexxyx求上页下页铃结束返回首页112、求下列函数的导数：)3cos()1(2xxyxxycos)(sin)2()sin()3(xyyxyxexy)4()32sin()5(2xy2sin)6(xey)sin()7(yxxyxyyexe)8(上页下页铃结束返回首页12.,)()(定的函数称此为由参数方程所确间的函数关系与确定若参数方程xytytx例如,,22tytx2xt22)2(xty42xxy21消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?t二、由参数方程所确定的函数的导数上页下页铃结束返回首页13),()(1xttx具有单调连续的反函数设函数)]([1xy,0)(,)(),(ttytx且都可导再设函数由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdydtdxdtdy1)()(tt)()(ttdtdxdtdydxdy即,)()(中在方程tytx注意分子母不要颠倒上页下页铃结束返回首页14例5解dtdxdtdydxdyttcos1sintaatacossin2cos12sin2tdxdy.1.方程处的切线在求摆线2)cos1()sin(ttayttax上页下页铃结束返回首页15.),12(,2ayaxt时当所求切线方程为)12(axay)22(axy即上页下页铃结束返回首页16求下列曲线在对应点处的切线方程和法线方程：处；在012sin)1(2xxxy.2cossin)2(处在tttyttx处；在0)3(22xxeyx.2cossin)4(处在tteytextt随堂练习上页下页铃结束返回首页171、高阶导数的定义问题:变速直线运动的加速度.),(tfs设)()(tftv则瞬时速度为的变化率对时间是速度加速度tva.])([)()(tftvta定义.)())((,)()(lim))((,)()(0处的二阶导数在点为函数则称存在即处可导在点的导数如果函数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx三、高阶导数上页下页铃结束返回首页18记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或记作阶导数的函数阶导数的导数称为的函数一般地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数..)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地xfxf.,),(33dxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf上页下页铃结束返回首页19例6).0(),0(,arctanffxy求设解211xy)11(2xy22)1(2xx))1(2(22xxy322)1()13(2xx022)1(2)0(xxxf0322)1()13(2)0(xxxf;0.2（1）直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2、高阶导数求法举例上页下页铃结束返回首页20例7.),()(nyRxy求设解1xy)(1xy2)1(x3)2)(1(x))1((2xy)1()1()1()(nxnynn则为自然数若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0上页下页铃结束返回首页21例8.),1ln()(nyxy求设解注意:xy112)1(1xy3)1(!2xy4)4()1(!3xy)1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)上页下页铃结束返回首页22例9.,sin)(nyxy求设解xycos)2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得上页下页铃结束返回首页23（2）高阶导数的运算法则:则阶导数具有和设函数,nvu)()()()()1(nnnvuvu)()()()2(nnCuCu上页下页铃结束返回首页24（3）间接法:常用高阶导数公式nnxnx)1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(利用已知的高阶导数公式,通过四则1)(!)1()1(nnnxnx运算,变量代换等方法,求出n阶导数.上页下页铃结束返回首页25例10.,11)5(2yxy求设解)1111(21112xxxy])1(!5)1(!5[2166)5(xxy])1(1)1(1[6066xx上页下页铃结束返回首页26,)()(二阶可导若函数tytx)(22dxdydxddxyddxdtttdtd))()(()(1)()()()()(2tttttt)()()()()(322tttttdxyd即由参数方程所确定的函数的二阶导数dtdxttdtd))()((dtdxttdtd))()((上页下页铃结束返回首页27例11解.sincos33表示的函数的二阶导数求由方程taytaxdtdxdtdydxdy)sin(cos3cossin322ttattattan)(22dxdydxddxyd)cos()tan(3tatttatsincos3sec22tatsin3sec4上页下页铃结束返回首页28；xxycos)1(求下列函数y的二阶导数：.12)5(2tytx；12)2(2xyy随堂练习：；1)3(22xyyxtytxsin3cos4)4(上页下页铃结束返回首页29内容小结1.隐函数求导法则:直接对方程两边求导;2.对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.4.高阶导数的定义及物理意义;5.高阶导数的运算法则；6.n阶导数的求法;1.直接法;2.间接法.3.参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;