高等数学1-5无穷大与无穷小

一、无穷小1、定义:定义1如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数(或正数X),使得对于适合不等式00xx(或xX)的一切x,对应的函数值)(xf都满足不等式)(xf,那末称函数)(xf当0xx(或x)时为无穷小,记作).0)(lim(0)(lim0xfxfxxx或极限为零的变量称为无穷小.例如,,0sinlim0xx.0sin时的无穷小是当函数xx,01limxx.1时的无穷小是当函数xx,0)1(limnnn.})1({时的无穷小是当数列nnn注意（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.2、无穷小与函数极限的关系:证必要性,)(lim0Axfxx设,)()(Axfx令,0)(lim0xxx则有).()(xAxf充分性),()(xAxf设,)(0时的无穷小是当其中xxx))((lim)(lim00xAxfxxxx则)(lim0xAxx.A定理1),()()(lim0xAxfAxfxx其中)(x是当0xx时的无穷小.意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);).(,)()(20xAxfxxf误差为式附近的近似表达在）给出了函数（3、无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.证,时的两个无穷小是当及设x使得,0,0,021NN;21时恒有当Nx;22时恒有当Nx},,max{21NNN取恒有时当,Nx22,)(0x注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是无穷小，时例如nn1,,.11不是无穷小之和为个但nn定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证内有界，在设函数),(100xUu.0,0,0101MuxxM恒有时使得当则,0时的无穷小是当又设xx.0,0,0202Mxx恒有时使得当推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.},,min{21取恒有时则当,00xxuuMM,.,0为无穷小时当uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时当例如都是无穷小二、无穷大定义2设函数)(xf在0x某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M(不论它多么大),总存在正数(或正数X),使得对于适合不等式00xx(或xX)的一切x,对应的函数值)(xf总满足不等式Mxf)(,则称函数)(xf当0xx(或x)时为无穷大,记作).)(lim()(lim0xfxfxxx或绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．))(lim()(lim)()(00xfxfxxxxxx或注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大..)(lim20认为极限存在）切勿将（xfxxxxy1sin1.,1sin1,0,但不是无穷大是一个无界变量时当例如xxyx),3,2,1,0(221)1(kkxk取,22)(kxyk.)(,Mxykk充分大时当),3,2,1,0(21)2(kkxk取,,kxk充分大时当kkxyk2sin2)(但.0M不是无穷大．无界，.11lim1xx证明例证.0M,11Mx要使,11Mx只要,1M取,110时当Mx.11Mx就有.11lim1xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线是函数则直线如果定义xfyxxxfxx11xy三、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证.)(lim0xfxx设,1)(0,0,00xfxx恒有时使得当.)(1xf即.)(1,0为无穷小时当xfxx.0)(,0)(lim,0xfxfxx且设反之,1)(0,0,00MxfxxM恒有时使得当.)(1Mxf从而.)(1,0为无穷大时当xfxx,0)(xf由于意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.四、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；（3）无界变量未必是无穷大.思考题若0)(xf，且Axfx)(lim，问：能否保证有0A的结论？试举例说明.思考题解答不能保证.例xxf1)(,0x有01)(xxf)(limxfx.01limAxx一、填空题:1、凡无穷小量皆以________为极限..)(,__________2的水平渐近线是函数直线条件下、在xfycy.)0lim(,)(_______)(lim300xxxxAxfAxf其中、.______,)(,4是无穷小则是无穷大若、在同一过程中xf.10,,21,0:4yxxxyx能使应满足什么条件问是无穷大函数时当二、根据定义证明练习题.,0,]1,0(1sin1这个函数不是无穷大时但当上无界在区间三、证明函数xxxy一、1、0；2、Cxfxx)(lim；3、；4、)(1xf.二、210104x.练习题答案