高等数学A(一)复习资料及PPT 上海大学出版社6

§9.连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性定理1：设f(x),g(x)在点x0处连续，则(1)f(x)±g(x)在点x0处也连续；(2)f(x)·g(x)在点x0处也连续；)0)(()()()3(0xgxgxf在点x0处也连续。例：讨论(1)y=xn,(2)y=tanx的连续性。(1)∵y=x在其定义域(-∞,+∞)连续，∴y=xn=x·x·…·x(有限个x的乘积)在(-∞,+∞)也连续。(2)∵y=sinx,y=cosx在其定义域(-∞,+∞)连续,在其定义域xxxycossintan内也连续。),2,1,0)(2,2(kkk幂函数、三角函数在其定义域内都是连续的。二、反函数与复合函数的连续性定理2：单值且单调的连续函数的反函数必存在，且也单值、单调且连续。例：上在]2,2[sinxy单值、单调且连续，上，在对应区间则其反函数]11[arcsinxy也单值、单调且连续。反三角函数在其定义域上都是连续函数。定理3：)(lim),(0xxuxx且设);()(limafufau即.)](lim[)()]([lim00xfafxfxxxx则——复合函数的极限存在性定理4：)(lim),(0xxuxx且设a;;)(0x);()(lim00ufufuu即.)](lim[)]([)]([lim000xfxfxfxxxx则——复合函数的连续性而y=f(u)在u=a连续，,)(00ux记而y=f(u)在u=u0连续，连续函数的复合仍为连续函数。例1：的连续性。讨论xy1cos解：,1,cos1cosxuuyxy连续；在),(cosuuy连续；在),0(),0,(1xu也连续。在),0(),0,(1cosxu例2：讨论y=ax,y=logax(a0,a≠1)，y=xα(α为一切实数)的连续性。axxealnaxueyuln,均在其定义域连续，也在其定义域连续。)1,0(aaayx∴其反函数y=logax也在其定义域连续。xexlnxueyuln,均在其定义域连续，∴y=xα(α为一切实数)也在其定义域连续。解：三、初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的。一切初等函数在其定义区间内都是连续的。定义区间：指包含在定义域内的区间。1.初等函数在其定义区间内任何一点的极限值就是函数在该点的函数值。2.初等函数的定义区间就是该函数的连续区间。例题讨论例1：的连续区间。求23)1ln(2xxxy解：,)2()1()1ln(xxxy,012,1xx且∴连续区间为：.),2()2,1()1,1(例2：1,])ln(ln[11,arctan)(2xxxxxxaxxf设试选择a,使f(x)为连续函数。解：x1及x1时,f(x)连续；所以只要f(x)在x=1连续，就能使得f(x)为连续函数。)(arctanlim)01(1axfxa4例2：1,])ln(ln[11,arctan)(2xxxxxxaxxf设试选择a,使f(x)为连续函数。)]ln([ln1lim)01(21xxxxfxxxx11ln1lim12lnaaf41arctan)1(又.2ln4a例3：的值。求设baxbxaxx,,11lim21解：)1(1lim)(lim2121xxbxaxbxaxxx;01ba),1(ab代入11lim21xaxaxx有1)1()1)(1(lim1xxaxxx)1(lim1axxa21,3a.2b且001课外作业习题1—9(A)2，3(5,8,10,11,12)习题1—9(B)1(2,3)，3(4,7,8)，4设f(x)在区间I上有定义，有使得对所有若存在,,IxI)()(fxf最大值和最小值的概念则称)(f是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）。§10.闭区间上连续函数的性质一、有界性与最大值最小值定理))()((fxf（有界性与最大值最小值定理）定理1：在闭区间上连续的函数在该区间上一定有界且一定能取到最大值和最小值。即若f(x)在[a,b]上连续，则必存在两点有对所有使],,[],,[,21baxba)()()(21fxffm==M(最小值)(最大值)xy0ab12说明：闭区间，连续函数，缺一不可。若不是闭区间，如：y=x在(a,b)内连续，xy0ab。。无最小值无最大值若f(x)不连续，如：,21,31,110,1xxxxxyxy0112。。.也无最大最小值。定理中两条件：二、零点定理与介值定理定理3：(零点定理)且f(a)与f(b)异号，(即f(a)·f(b)0)则至少存在一点设f(x)在[a,b]上连续，.0)(),,(fba使xy0abf(a)f(b).ξxy0ab结论又可表示为：方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根。123定理4(介值定理)设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)=A,f(b)=B,A≠B,则对于A、B之间的任一数C，至少存在一点),,(ba使f(ξ)=C.证：,)()(Cxfx令则在[a,b]上连续，,)()(CACafa,)()(CBCbfb因为C在A、B之间，所以φ(a)·φ(b)0,由零点定理，至少存在一点),,(ba0)(使.)(0)(CfCf即xy0abC’.AB123C.推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。例题讨论例1：证明内至少有一个根。在],0[0cosxex证：设f(x)=excosx,内连续，且在],0[,01)0(0ef,0cos)(eef∴由零点定理，至少存在一点),,0(,0cos)(ef使内至少有一个根。在],0[0cosxex例2：的正根。至少有一个小于112xx证明方程证：,12)(xxxf设上连续，且在]1,0[,01)0(f,0112)1(f∴由零点定理，至少存在一点),10(,0)(f使,012)(至少有一个根即方程xxxf.10且∴得证。例3：设f(x)在[0,2a]上连续,f(0)=f(2a),使，上至少存在一点则在],0[a.)()(aff证：)()()(axfxfxF令则F(x)在[0,a]上连续，且F(0)=f(0)–f(a),F(a)=f(a)–f(2a)=f(a)–f(0),若f(0)–f(a)=0,0a或可取则命题得证。例3：设f(x)在[0,2a]上连续,f(0)=f(2a),使，上至少存在一点则在],0[a.)()(aff证：)()()(axfxfxF令且F(0)=f(0)–f(a),F(a)=f(a)–f(0)若f(0)–f(a)0),0(a存在命题得证。则F(0)与F(a)异号，由零点定理知，,0)(F使得.)()(aff即函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数左右极限两个重要极限求极限的常用方法无穷小的性质极限存在的充要条件判定极限存在的准则无穷小的比较极限的性质数列极限函数极限axnnlimAxfxx)(lim0Axfx)(lim等价无穷小及其性质唯一性无穷小0)(limxf两者的关系无穷大)(limxf左右连续在区间[a,b]上连续连续函数的性质初等函数的连续性间断点定义连续定义0lim0yx)()(lim00xfxfxx连续的充要条件连续函数的运算性质非初等函数的连续性振荡间断点无穷间断点跳跃间断点可去间断点第一类第二类课外作业习题1—10(A)1，4，5习题1—10(B)1，2，5总复习一三1，4，6，7，12