离散型随机变量均值(公开课)

某商场为满足市场需求要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？2618+24+363定价为可以吗？18×1/2+24×1/3+36×1/6=23元/kg假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗元糖果所属种类的单价（）,你能写出X的分布列吗？kg假如从这种混合糖果中随机选取一颗，记X为这颗元糖果所属种类的单价（）,你能写出X的分布列吗？kg18×1/2+24×1/3+36×1/6X182436P1/21/31/6182436X解：随机变量可取值为，和111182436236(),(),()PXPXPX而所以X分布列为=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)如果你买了1kg这种混合糖果，你要付多少钱？而你买的糖果的实际价值刚好是23元吗？随机变量均值（概率意义下的均值）样本平均值1、离散型随机变量均值的定义X……P……一般地,若离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx则称为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。1122iinnEXxpxpxpxp它反映了离散型随机变量取值的平均水平。例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的均值X123456P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量X的均值为EX=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5你能理解3.5的含义吗？你能归纳求离散型随机变量均值的步骤吗?变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？例题1随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望Y35791113P1/61/61/61/61/61/6解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6其分布列为所以随机变量Y的均值为EY=3×1/6+5×1/6+7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8=2EX+1变式：将所得点数的2倍加1作为得分数，即Y=2X+1，试求Y的均值？设X为离散型随机变量，若Y=aX+b,其中a,b为常数，则EY=?你能猜想出结果吗?aaaEX+bX……P……()(),1,2,3iiPYaxbPXxin而证：设离散型随机变量X的概率分布为ip2x2pnpix1x1pnx所以Y的分布列为Y……P……ip2axb2pnpiaxb1axb1pnaxb1122()()()nnEYaxbpaxbpaxbp1122()nnaxpxpxp12()nbpppaEXb若Y=aX+b,则EY=aEX+b2、离散型随机变量均值的性质()EaXbaEXb(1)随机变量均值的线性性质解:ξ的分布列为所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例题2篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？ξ01P0.150.85解:ξ的分布列为所以Eξ＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＝0×0.15＋1×0.85＝0.85．例题2ξ01P0.150.85P1-PP1-PP篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？例题2变式：若姚明在某次比赛中罚球3次，求他罚球的得分ξ的均值？若ξ～B(1，0.85),则Eξ=0.85若ξ～B(10，0.85),则Eξ=?你能猜想出结果吗?篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知姚明目前罚球命中的概率为0.85，求他罚球1次的得分ξ的均值？求证：若ξ~B(n，p)，则Eξ=np∴Eξ=0×Cn0p0qn+1×Cn1p1qn-1+2×Cn2p2qn-2+…+k×Cnkpkqn-k+…+n×Cnnpnq0∵P(ξ=k)=Cnkpkqn-k证明：=np(Cn-10p0qn-1+Cn-11p1qn-2+…+Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1)+…+Cn-1n-1pn-1q0)ξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0(∵kCnk=nCn-1k-1)=np(p+q)n-1=np离散型随机变量均值的性质()()EaXbaEXb(1)线性性质若X~B(n，p)，则E(X)=np(2)两点分布的均值(3)二项分布的均值若X~B(1，p)，则E(X)=p一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值。例题3解：设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η，则ξ～B(20，0.9)，η～B(20，0.25)，Eξ＝20×0.9＝18，Eη＝20×0.25＝5．由于答对每题得5分，学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η。所以，他们在测验中的成绩的均值分别是E(5ξ)＝5Eξ＝5×18＝90，E(5η)＝5Eη＝5×5＝25．2某篮球运动员3分球投篮命中的概率是,在某次三分远投比赛中,共投篮3次,设是他投中的次数.1)求E;2)若投中1次得3分,求他得分的均值;321014,若E=3，=2则E=_______•根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设备,有以下3种方案:方案1:运走设备,搬运费为3800元;方案2:建保护围墙,建设费为2000元,但围墙只能防小洪水;方案3:不采取任何措施,希望不发生洪水.试比较哪一种方案好?例4