离散型随机变量的均值

课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【课标要求】2.3.1离散型随机变量的均值2.3离散型随机变量的均值与方差理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．掌握离散型随机变量的均值的性质，掌握两点分布、二项分布的均值．会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．1．2．3．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练离散型随机变量均值的概念与计算方法．(重点)离散型随机变量均值的性质及应用．(重点、难点)两点分布与二项分布的均值．(易混点)【核心扫描】1．2．3．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练离散型随机变量的均值或数学期望(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：自学导引1．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝____________________________为随机变量X的均值或数学期望．(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的_________．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.想一想：随机变量的均值与样本的平均值有何联系与区别？提示(1)随机变量的均值是常数，而样本的均值，随样本的不同而变化．(2)对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值．两点分布与二项分布的均值2．XX服从两点分布X～B(n，p)E(X)__(p为成功概率)___pnp课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练试一试：若某人投篮的命中率为0.8，那么他投篮10次一定会进8个球吗？提示某人投篮的命中率为0.8，是通过大量重复的试验来推断出来的一个均值．由于每次试验是相互独立的，投一次可能成功，也可能失败．也就是说投篮10次可能一个球也没进，也可能进了几个球，但并不一定会是8个，只是从平均意义上讲10次投篮进8个球．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练对离散型随机变量的均值的理解(1)离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的指标．(2)由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位．(3)均值是一个常数，在大量试验下，它总是稳定的，因此它不具有随机性，可以作为随机变量的均值或平均数．名师点睛1．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练对公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b的理解(1)当a＝0时，E(b)＝b，即常数的均值就是这个常数本身．(2)当a＝1时，E(X＋b)＝E(X)＋b，即随机变量X与常数之和的均值等于X的均值与这个常数的和．(3)当b＝0时，E(aX)＝aE(X)，即常数与随机变量乘积的均值等于这个常数与随机变量均值的乘积．2．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型一利用定义求离散型随机变量的数学期望袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取得一只黑球得1分，试求得分X的数学期望．[思路探索]先分析得分的所有取值情况，再求分布列，代入公式即可．【例1】课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练解取出4只球颜色及得分分布情况是：4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，P(X＝5)＝C14C33C47＝435，P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C03C47＝135，故X的分布列如下：X5678P43518351235135∴E(X)＝5×435＋6×1835＋7×1235＋8×135＝447(分)．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练规律方法求数学期望的步骤是：(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；(2)求出随机变量取各个值的概率；(3)列出分布列；(4)利用数学期望公式进行计算．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品．从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望．【变式1】解从10件产品中任取3件，共有C310种结果．从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为Ck3C3－k7，其中k＝0，1，2，3.∴P(X＝k)＝Ck3C3－k7C310，k＝0，1，2，3.所以随机变量X的分布列为X0123P72421407401120∴E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练某运动员投篮命中率为p＝0.6.(1)求投篮1次时命中次数X的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．[思路探索](1)投篮1次命中次数X服从两点分布，故由两点分布的均值公式可求得；(2)重复5次投篮，命中次数X服从二项分布，代入公式E(X)＝np可得．解(1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：题型二两点分布与二项分布的数学期望【例2】X01P0.40.6课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练则E(X)＝p＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5，0.6)．则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.规律方法此类题的解法一般分两步：一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖，有一选手选对任意一题的概率是0.8，则该选手有望能拿到几等奖？解选对题的个数X～B(30，0.8)，故E(X)＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以该选手有望能拿到二等奖．【变式2】课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练某突发事件在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少．(总费用＝采取预防措施的费用＋发生突发事件损失的期望值)题型三数学期望的实际应用【例3】课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[规范解答]①不采取预防措施时，总费用即损失期望值为E1＝400×0.3＝120(万元)；(2分)②若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9＝0.1，损失期望值为E2＝400×0.1＝40(万元)，所以总费用为45＋40＝85(万元)；(5分)③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85＝0.15，损失期望值为E3＝400×0.15＝60(万元)，所以总费用为30＋60＝90(万元)；(8分)④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45＋30＝75(万元)，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练发生突发事件的概率为(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，损失期望值为E4＝400×0.015＝6(万元)，所以总费用为75＋6＝81(万元)(11分)综合①、②、③、④，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少．(12分)【题后反思】均值反映了随机变量取值的平均水平．我们对实际问题进行决策时，当平均水平比较重要时，决策的依据首先就是随机变量均值的大小．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的概率为0.01.保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元(a＞100)．问a如何确定，可使保险公司期望获利？解设X表示保险公司在参加保险人身上的收益，则X的取值为X＝100和X＝100－a，则P(X＝100)＝0.99.P(X＝100－a)＝0.01，所以E(X)＝0.99×100＋0.01×(100－a)＝100－0.01a＞0，所以a＜10000.又a＞100，所以100＜a＜10000.即当a在100和10000之间取值时保险公司可望获利．【变式3】课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练化归与转化思想是高中数学的重要思想，对于这种思想我们从两个角度来理解：(1)将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化归为较易问题，将未解决的问题化归为已解决的问题；(2)灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法．对于本节，化归转化思想尤为重要，我们也可通过化归转化将实际问题的解决转化为数学期望模型，用数学期望去分析和解决实际问题．方法技巧化归与转化思想在解题中的应用课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练三家公司为王明提供了面试机会，按面试的时间顺序，三家公司分别记为甲、乙、丙，每家公司都提供极好、好、一般三种职位，每家公司将根据面试情况决定给予求职者何种职位或拒绝提供职位．若规定双方在面试以后要立即决定提供、接受、拒绝某种职位，且不允许毁约，已知王明获得极好、好、一般职位的可能性分别为0.2，0.3，0.4，三家公司工资数据如下：【示例】公司职位极好好一般甲350030002200乙390029502500丙400030002500课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练王明如果把工资数尽量提高作为首要条件，那么他在甲、乙、丙公司面试时，对该公司提供的各种职位应如何决策？[思路分析]根据提供的数据计算三家公司的均值，因为面试有时间先后顺序，所以在解决问题时应先考虑公司丙．解由于面试有时间先后，所以在甲、乙公司面试做选择时，还要考虑到后面丙公司的情况，所以应从丙公司开始讨论．丙公司的工资均值为4000×0.2＋3000×0.3＋2500×0.4＋0×0.1＝2700(元)，现在考虑乙公司，因为乙公司的一般职位工资只有2500元，低于丙公司的均值，所以只接受乙公司极好或好的职位，否则就到丙公司．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练如此决策时他的工资均值为3900×0.2＋2950×0.3＋2700×0.5＝3015(元)，最后考虑甲公司，由于甲公司只有极好职位的工资超过3015元，所以他只接受甲公司极好职位，否则就到乙公司．所以总的决策为：先去甲公司应聘，若甲公司提供极好职位就接受，否则去乙公司应聘；若乙公司提供极好或好的职位就接受，否则就到丙公司；接受丙公司提供的任何职位．工资均值为3500×0.2＋3015×0.8＝3112(元)．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练方法点评由于三家公司提供了三种不同工资的职位，获得不同职位的可能性也不相同，所以我们考虑到用工资的均值来决策．这类问题将实际的应用题通过建立“数学期望”模型得以解决．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练单击此处进入活页规范训练