马尔可夫分析

时间序列的马尔可夫分析鲍征宇中国地质大学地球科学学院[e-mail]027－6788300613628638501随机过程只有一个自变量t（通常为时间）的随机函数x(t,w),称为随机过程，x为时刻t时的状态，w为随机影响。第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.11马尔可夫过程对于时间离散(t1,t2,...,tk-1,tk,…)的随机过程，若任一时刻tk的状态x只与前一时刻tk-1的状态有关，而与其它时刻t1,t2,...,tk-2的状态无关，即只一步相关，则称为马尔可夫过程，或称随机过程具马尔可夫性，即有第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.11})()({})(,...,)(,)()({11112211kkkkkkkkxtxxtxPxtxxtxxtxxtxP自相关系数同一时间序列中时间滞后s的值之间的相关系数第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.11nkksnkskksxxnxxxxsn121)(1))((1tx1x1+sx2x2+sxn自相关系数第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.11多变量时间序列的马尔可夫性的判别是各变量的滞后s1的相关系数迅速衰减。00.20.40.60.81.0s滞后s123456789马尔可夫链与转移概率若马尔可夫过程的状态也离散，例如只能取x1,x2,…,xn，则称为马尔可夫链。对于马尔可夫链，过程状态之间的改变（转移）可用转移概率矩阵表示，第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.11njijijkkijijppitxjtxPppP111,0})()({}{马尔可夫链与转移概率两步和多步转移矩阵第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.11nijmkkjikijPnpPPPppp)()2(21)()2(nppijij，马尔可夫链与转移概率例如，设在一地层，包含4种岩性(状态)：砂岩(A)，灰岩(B)，页岩(C)和煤层(D)。由剖面底部到顶部，这4种岩性出现的顺序为ABACDCDABCBADCDCBACABDABCDBACDA，则转移频数矩阵和转移频率矩阵第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.1100.4290.1430.4290.62500.250.1250.1430.28600.5710.1250.3750.5078780313502112041340DCBADCBA每行之和从到除各行之和多元时间序列的转移矩阵U设有一p变量的时间序列。对每个变量作n次观测，得观测矩阵第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.11pnppnnxxxxxxxxxX............212222111211多元时间序列的转移矩阵U设转移概率矩阵U，使得第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.1111kkkUexx1,1,21,1,,2,12122221112111,1,21,1.....................kpkkkpkkppppppkpkkeeexxxuuuuuuuuuxxx称马尔可夫概型。对于单变量马尔可夫概型11kkkeuxx多元时间序列的转移矩阵U由第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.1111kkkUexx两边乘'kx,并对k求和nkkknkkknkkkU11111'''xexxxx由于xk与ek+1相互独立，上式右边第2项为零nkkknkkkU111''xxxx多元时间序列的转移矩阵U若变量已中心化，即各变量均值为零，则111110,nkkknkkk''xxxxCC为协方差阵和滞后为1的协方差阵01CCU101CCU过程的演化趋势矩阵U的特征值li总有左特征向量ti，第一届全国应用地球化学学术研讨会长沙2004.11由前面1''1''1'kikiikikikitttUtteexxxl11kkkUexxkiikitUtx''lx''iiitUtl*1'1'kkiikittexxl得到1'*1kitkee记过程的演化趋势ppppppkixtxtxtxxxtttxxxtttt...............2211212121'21'x可见是p个变量的线性组合，遵循参数为li的单变量马尔可夫概型，其中当i=1时*1'111'1kkkttexxl能显示多元序列的最大序列相关，称之为趋势因子ktx'1kitx'过程的演化趋势ktx'1谢谢！