7. 场论运算

1大理大学工程学院罗凌霄编写AA,,设为源点与场点之间的距离，的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求R的梯度。222()()()Rxxyyzzrr场点（观察点）场源点坐标原点orrRR2大理大学工程学院罗凌霄编写场点（观察点）场源点坐标原点orrR源点固定，R是场点的函数，对场点求梯度，则有xyzRRRReeexyz122221()()()()2()2RxxxxyyzzxxxR()(),RyyRzzyRzR222()()()Rxxyyzz()()()1()()()xyzxyzxyzRRRRxxyyzzReeeeeexyzRRRrrRexxeyyezzeRRR3大理大学工程学院罗凌霄编写场点固定，R是源点的函数，对源点求梯度，则有xyzRRRReeexyz122221()()()()2()(1)2RxxxxyyzzxxxR()(),RyyRzzyRzR()()()1()()()xyzxyzxyzRRRRxxyyzzReeeeeexyzRRRrrRexxeyyezzeRRRR场点（观察点）场源点坐标原点orrR222()()()Rxxyyzz4大理大学工程学院罗凌霄编写计算r的梯度xyzrrrreeexyz222121()22rxxyzxxr,ryrzyrzr1()xyzxyzrxyzrreeeexeyezerrrrr场点（观察点）场源点坐标原点orrR222rxyz0xyzrrrreeexyz5大理大学工程学院罗凌霄编写计算r'的梯度xyzrrrreeexyz222121()22rxxyzxxr,ryrzyrzr1()xyzxyzrxyzrreeeexeyezerrrrr场点（观察点）场源点坐标原点orrR222rxyz0xyzrrrreeexyz6大理大学工程学院罗凌霄编写计算的散度3xyzrxyz场点（观察点）场源点坐标原点orrRrxyzrexeyez0xyzrxyz计算的散度r3xyzrxyz0xyzrxyz计算的散度Rxyzrexeyez()303Rrrrr()033Rrrrr7大理大学工程学院罗凌霄编写计算的旋度0xyzeeerxyzxyz场点（观察点）场源点坐标原点orrRrxyzrexeyez计算的旋度rxyzrexeyez0xyzeeerxyzxyz0xyzeeerxyzxyz0xyzeeerxyzxyz8大理大学工程学院罗凌霄编写计算的旋度0r场点（观察点）场源点坐标原点orrRRxyzrexeyezxyzrexeyez0r0r0r()0Rrrrr()0Rrrrr9大理大学工程学院罗凌霄编写（Ⅰ）标量场的梯度必定为无旋场，即（Ⅱ）（逆定理）反之，无旋场可表示为一个标量场的梯度。0ff若则（Ⅲ)矢量场的旋度必定为无源场（无散场），即(Ⅳ)（逆定理）无源场（无散场）可表示为一个矢量场的旋度，即00ffA则若0f10大理大学工程学院罗凌霄编写(Ⅰ)、标量场的梯度必定为无旋场，即0()222222xyzeeezyyzxzzxyxxy0xyzeeexyzxyzeeexyzxyzeeexyzxyz11大理大学工程学院罗凌霄编写(Ⅲ)矢量场的旋度必定为无源场（无散场），即0f()xyzxyzxyzeeefeeexyzxyzfff2222220yyxxzzyyxxzzffffffxyzyzxzxyffffffyxzxzyxyxzyz12大理大学工程学院罗凌霄编写,gf,设代表标量场，代表矢量场2()(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)()()fff()()()fggffg()()()()()fggfgffgfg()()()()()gffgfggfgf2()()fff()fff13大理大学工程学院罗凌霄编写()()()()()xyzeeexyz()()()xyzeexxyyezz()()xyzxyzeeeeeexyzxyz公式(a)xyzeeexyz()故也可以这样简洁地推演14大理大学工程学院罗凌霄编写()()()()()()fff()()()fffffffff公式(b)公式(c)()fff()()()fffffffffxyzeeexyz15大理大学工程学院罗凌霄编写()()()fggffg()()()gffgfgfg()()()abcabccab()()()()()()()ffgggfgfggffggfgffg据故有：()()()fggffg公式(d)16大理大学工程学院罗凌霄编写()()()()()fggfgffgfg()()()gffgfgfg据公式(e)()()()()()abcacbabccabbac()()()()()ffffggffggffg()()()()()gggfggffggffg故有：()()()()()fggfgffgfg17大理大学工程学院罗凌霄编写()()()()()gffgfggfgf()()()gffgfgfg()()()()()fgfgfggfgf公式(f)同理()()()()()()()()fffgfgfgffggffggfgf()()()()()()ggfgfgfgfgfgfg故有18大理大学工程学院罗凌霄编写矢量场的旋度的旋度为公式(h)2()()fff222222222222()()()()()xxyyzzxyzxyz2()()()()fffff标量场的梯度的散度为公式(g)2()222222xyz叫做拉普拉斯算子，读作Laplacian19大理大学工程学院罗凌霄编写1111xyzeeeRxRyRzR12122222111()()()2()2RRRxxyyzzxxxRxxR场点（观察点）场源点坐标原点orrR22212[()()()]Rxxyyzz20大理大学工程学院罗凌霄编写?Re31()xxxRR31()yyyRR31()zzzRR3311[()()()]xyzRexxeyyezzRRR233111332()()RRRReRRRRRRRRRRRRR同理可以推出2rer21大理大学工程学院罗凌霄编写所以的区别是什么？对于时变标量场d(,,,),duuuuxyzttt、dddddddddduuxuyuzututxtytzttttddd()()dddxyzxyzuuuxyzeeeeeexyztttuuuuttv=vdduuutt=v其中是场点移动的速度。场点不动时，。所以是不动的场点处标量场u随时间的变化率（增加率），而是移动的场点处标量场u随时间的变化率（增加率）。vdduutt=utddut因为22大理大学工程学院罗凌霄编写的关系对于时变矢量场d(,,,),dffffxyzttt、ddddd()dddddyxzxxyyzzxyzffffefefefeeettttt因为()()()yxzxxyyzzfffefefeftttvvv()()()[()()][(