第三章 杆件的应力与强度计算(弯曲梁)

MechanicsofMaterials§3-1引言§3-2拉（压）杆的应力与应变§3-3材料在拉伸和压缩时的力学性能§3-4失效、许用应力和强度条件§3-6薄壁圆筒的扭转§3-7圆轴扭转时的应力与强度条件§3-8纯弯曲时梁的正应力§3-9横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件§3.10弯曲切应力.弯曲切应力强度条件§3-11梁的合理设计§3-12剪切与挤压的实用计算§3-13应力集中mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有剪力FS，又有弯矩M.§3-8纯弯曲时梁的正应力mmFSmmM只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩。弯矩M正应力剪力FS切应力内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力；所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力。梁CD段内的任一横截面上,剪力等于零，而弯矩为常量，该段梁的弯曲就是纯弯曲。二、纯弯曲（Purebending)xxFSMFFFa++－FFaaCDAB梁AC、CD段内的任一横截面上，剪力、弯矩均不为零，该段梁的弯曲就是横力弯曲。三、分析方法平面弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)纯弯曲时梁的正应力三方面法关系变形几何关系物理关系静力观察变形提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式一、实验（Experiment）1.变形现象纵向线靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长.相对转过了一个角度，仍与变形后的纵向弧线垂直.各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，且仍保持平行横向线2.提出假设(Assumptions）（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面，它绕其上的某一轴旋转了一个角度，且仍垂直于梁弯曲变形后的轴线；（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层中性轴横截面对称轴⊥中性层与横截面的交线称为中性轴。dx图（b）yzxo应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比.图（a）dx二、变形几何关系图（c）dzyxo’o’b’b’ybbooxbbdOO''OOdyyddd)(d)(ybb三、物理关系所以Hooke’sLawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比.应力分布规律：?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径ρ??EεσyEσ四、静力关系横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.内力与外力相平衡可得dAdAzyAAAσFddNNFiyMizMAAyAzσMddAAzAyσMdd0（1）0（2）M（3）NdFyMdzMdAσd将应力表达式代入（1）式，得将应力表达式代入（2）式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心zIEM1自然满足0dNAyEFA0dAAyE0dAAyzS0dAyzEMAiy0dAAyzE0dAAyzyzIMAyyEMAizdMIEzMAyEAd2zEIM1yEσ将代入得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:zIMyσM为梁横截面上的弯矩；y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.讨论（1）应用公式时，一般将M、y以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力（为负号）；（2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.IyMσzmaxmax则公式改写为zWMσmax引用记号—抗弯截面系数maxyIWzz则公式改写为zWMσmax引用记号—抗弯截面系数maxyIWzz（3）当中性轴为对称轴时yyymaxmaxcmaxtσσσmaxmaxcmaxtzIMyσ矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy32π2/64/π2/34ddddIWzz62/12/2/23bhhbhhIWzzDdαDWz)1(32π43（3）当中性轴为对称轴时zWMσmaxzy（4）对于中性轴不是对称轴的横截面ymaxcymaxtM应分别以横截面上受压和受拉部分距中性轴最远的距离和直接代入公式ymaxtymaxczIMyσmaxcσmaxtσIMyσzmaxcmaxcIMyσzmaxtmaxt当梁上有横向力作用时，横截面上既有弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力，切应力使横截面发生翘曲，横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立。一、横力弯曲但由弹性力学精确分析表明，对于跨度l与横截面高度h之比l≥5h的细长梁。用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲时横截面上的正应力，误差≤2%，满足工程中所需要的精度。等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为zWxMσ)(§3-9横力弯曲时梁的正应力.弯曲正应力强度条件二、公式的应用范围1.在线弹性范围内3.平面弯曲4.等直梁2.具有切应力的梁（细长梁）5/hl三、强度条件1.数学表达式][maxmaxσWMσz梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.2.强度条件的应用][maxσMWz（2）设计截面][maxσWMz（3）确定许可载荷（1）强度校核][maxσWMz对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的][][ctσσ且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的σσmaxcmaxt（两者有时并不发生在同一横截面上）要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力][tmaxtσσ][cmaxcσσ[例7]一铸铁梁的受力如图a所示，其截面尺寸如右图所示。铸铁材料的拉、压许用应力分别为,。试校核此梁是否安全。MPa30][tMPa160][c1201m1m1m208020=12kN=5kN（b）（a）解：（1）绘梁的内力图kN5.13kN,5.3BAFF（2）计算截面的几何性质a、确定中性轴位置2012020808020120102080Cymm52mm8852140mm5221yy1201m1m1m208020=12kN=5kNB截面C截面..+-3.5kNm5kNmb、求Iz)4220802080121(23zI)281202012020121(23)(mm1064.746（3）强度校核由于梁的截面上、下不对称于中性轴，而材料的拉、压许用应力又不相等，所以最大正弯矩的作用截面C和最大负弯矩的作用截面B均可能是危险面。两个截面上的正应力分布如图d所示。最大压应力发生在B截面下边缘的各点处。1201m1m1m208020=12kN=5kNB截面C截面..+-3.5kNm5kNm][MPa6.571064.788105662maxczBcIyM在C、B截面上52105881036162yMyMBC所以最大拉应力发生在C截面下边缘的各点处，其值为MPa4205.1][MPa3.401064.788105.3t66maxmaxzCtIyM虽然大于，但没超过5%，故仍然认为是安全的。maxt][t[例8]简支梁在跨中受集中载荷P=30kN，l=8m，[σ]＝120MPa。试为梁选择工字钢型号。m).(kN60830414maxlPM解：由强度条件，得33463maxcm500)(m105101201060][MWz选择工字钢№28a433cm1011.7,cm508zzIW[例9]梁AC的截面为№10工字钢，B点用圆钢杆BD悬挂，已知圆杆的直径d=20mm，梁及杆的[σ]=160MPa，试求许用均布载荷[q]。工字钢10ONdDqABCm2m1m4343q45qq2q329q解：由平衡条件05.132,0)(qFFmBAqFB4903,0qFFFBAyqFA43qFqFB4949N由得＝由,92NdqAFmkNdq/34.229)1020(1016092362工字钢10ONdDqABCm2m1m4343q45qq2q329qmkNWqz/68.1510492101602][66得＝由,2maxmaxzzWqWMmkNq/68.15一、梁横截面上的切应力1.矩形截面梁§3.10弯曲切应力.弯曲切应力强度条件F1F2q(x)（1）两个假设（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）.F1Fq(x)mmnnxdxmmnnFSFSMM+dMdxmmnndx（2）公式推导y12′τABB1A1mnxzyym’FN1FN2dFS’两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2.A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.1d11NAAσFAyIMAIMyAzAzdd1111zzSIMzzASIMMAσFdd122N式中：为面积A1对中性轴的静矩.1d1AzAySAd1化简后得zzSIMF1NzzSIMMFd2NxbFdds由平衡方程0xF0d'S1N2NFFFbISxMzzddSddFxMbISFzzSABB1mnxzyym’FN1FN2dFS’Ad1b矩型截面的宽度.bISFzzSyA*z整个横截面对中性轴的惯性矩.zI距中性轴为y的横线以外部分横截面面积对中性轴的静矩.Sz（4）切应力沿截面高度的变化规律沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.Sz)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz)4(222SSyhIFbISFzzz可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.zτmaxy=±h/2（即在横截面上距中性轴最远处）τ=0y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值bhFbhhFIhFzS32S2Smax231288AF23Smax式中，A=bh为矩形截面的面积.zCyA＊2.工字形截面梁假设求应力的点到中性轴的距离为y.研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为HoyxbzhbISFzzS*OzyyA*b—腹板的厚度—距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A对中性轴的静矩.Sz*（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.minmax腹AFbhFSSbISFzzSmaxmaxτmaxτminozyτmax（c）腹板部分的切应力合力占总剪力的95～97％。ydzo'k'ok假设：（a）沿宽度kk‘上各点处的切应力均汇交于o'点；（b）各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.3.圆截面梁最大切应力发生在中性轴上AFbISFzzS*Smax34式中为圆截面的面积.42πdA4.薄壁圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为，环的平均半径为r0，由于«r0故可假设（a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；（b）切应力的方向与圆周相切.zyδ式中A=2r0为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为AFSmax2max二、强度条件][max][Smax*maxmaxbISFzz三、需要校核切应力的几种特殊情况（1）梁的跨度较短，M较小，而FS较大时,要校核切应力；（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力；（3）