第三章 环与域

§3.1目的与要求:◆掌握环的概念及相关例子.◆掌握几种特殊环的概念以及之间的联系.第三章环与域§3.1环的定义预备知识：加群：设G为一个交换群,若将G中的运算称为加法,则称G为一个加群,G中的运算用”+”来表示.注意:1加群G中的单位元称为零元，记为0;G中元素a的逆元称为a的负元（简称负a）,记为－a.2加群G中的一些符号和运算规则也将随之发生改变.,,,,,abSaSabSabSabS3设S加群G的一个非空子集,则S为G一个子群定义3.1.1设R为一个非空集合,R中带有两个运算:加法(记为”+”)和乘法(记为”.”).假如满足1.R关于加法是一个加群；2.R关于乘法是一个半群；3.两个分配律:左分配律:右分配律:则称R是一个结合环，简称R是一个环,记(R,+,.,0)是一个环.()(),,,.abcabacbcababcabcR；注:(3)环中的运算顺序为：有括号先算括号，无括号的先算乘法后算加法．(2)乘法ab通常简写成ab.(1)由于环R关于加法是一个加群，故R中一定有零元0，即R，且对0,.aRaR有例1R＝{0,a,b,c}.加法和乘法由以下两个表给定：则R对于上述两种运算构成一个环．(1)R是一个加群①封闭性，②结合律，③零元，④负元，⑤交换律．证明(2)R是一个乘法半群：①封闭，结合律.(3)满足左、右分配律．例3数域F上的n阶方阵的全体关于矩阵的加法和乘法构成一个环，称为F上的n阶方阵环，记为．()nMF例2易证:（1）全体整数关于数的普通加法和乘法构成一个环，称为整数环，记为或简记为．(,,,0,1)ZZ例4设R＝{模m的剩余类}={[0],---,[n-1]}，规定运算为，．可以证明R关于上述运算构成一个环，称之为模m的剩余类环，记为，或．nZ/ZnZ（２）全体有理数（实数、复数）关于数的普通加法和乘法构成一个环，称为有理数域，记为（、）或简记为（、）．(,,,0,1)Q(,,,0,1)R(,,,0,1)CCQR定义3.1.2若环R的乘法满足交换律，即，，则称R是一个交换环．,abR例、、、、都是交换环，而则不是交换环．ZQRCnZ()nMF注:在交换环中，二项式定理成立,即n为正整数.但在一般环中二项式定理未必成立.()nnnabab定义3.1.3若R的乘法半群是一个乘法幺半群，则称R是一个有单位元的环，其中乘法单位元通常记为1，此时环R通常也称为含幺环．例、、、都是含幺环，单位元就是数1，、是含幺环．单位元分别是[1]和n阶单位矩阵.这也说明含幺环中的单位元1并非就是普通整数1．ZQRCnZ()nMFnE注:（1）并非所有的环都是含幺环如＝{所有偶数}．R对于数的普通加法和乘法作成一个环，但是R没有单位元．2Z（2）若R是有单位元的非零环，则R中的零元与单位元一定不相等．注意，零环也是一个含幺环．故约定在今后的讨论中，含幺环总是指非零环．{0}R（3）含幺环中的单位元总是惟一存在的．（4）在含幺环R中，规定01,.aaR注:（1）若b是a的一个逆元，则a也是b的一个逆元．（2）逆元未必存在，如非零环中的零元．但逆元若存在，则必是惟一存在的．定义3.1.4一个有单位元环的一个元叫做元的一个逆元，假如，此时也称a是一个可逆元,记.1ba（3）若a可逆，则．1(),nnaanZ（4）也有左逆、右逆的概念（见第二章）．定义3.1.5若是在一个环里但则称是这个环的一个左零因子，是一个右零因子．若a既是一个左零因子，又是一个右零因子，则称a是一个零因子．0,0ab0ab注:（1）在交换环中，左零因子、右零因子、零因子的概念是统一的.（3）乘法可逆元一定不是左、右零因子．（2）在非交换环中，左零因子、右零因子、零因子的概念是不统一的.如在特殊矩阵环中,元素是一个左零因子,但不是右零因子.0,0aRabZb0001定义3.1.6不含左、右零因子的环称为无零因子环．例、、、都是无零因子环，而(n是合数)、不是无零因子环．ZQRCnZ()nMF注:推论3.1.2环R的乘法满足左消去律R是无零因子环R的乘法满足右消去律.定义3.1.7有单位元的无零因子的交换环叫做整环.()nMF例、、、都是整环，而、(n是合数)、不是整环．nZ2ZZQRC可以证明：R是无零因子环R中非零元素之积仍非零．,,000abRabab有或定理3.1.1环R是无零因子环R的乘法满足左、右消去律.定义3.1.8一个环R叫做一个除环（或体、斜域），假如（1）R中至少包含一个不等于零的元(即R中至少有两个元素)；（2）R有单位元；（3）R的每一个不等于零的元有一个逆元．交换的除环叫做域．例、、都是域.QRC命题3.1.3(1)除环是无零因子环．(2)设R是一个非零环，记，则R是除环对于R的乘法构成一个群，称之为除环R的乘法群．(3)在除环R中，，方程和在R中都有惟一解．*{|0}\{0}RaRaR*R(0),aRbRaxbyab定理3.1.4一个至少含有两个元素的无零因子的有限环是除环．注:在除环R中，与未必相等．若R是域，则，统一记为，称为b除以a的商，易知商具有与普通数相似的一些性质(0),aRbR1ab1ba11abbaba例设是实数域上的四维向量空间，为其一组基，规定基元素之间的乘法为：将其线性扩张为中的元素之间的乘法．则关于向量的加法和上面定义的乘法构成一个除环，称之为（Hamilton)四元数除环或四元数体．01230123{|,,,}HaaiajakaaaaR1,,,ijk2221ijk(1),,ijkjkikij(2)HH推论3.1.5有限整环是除环．(,,0)R是Abel加群左、右分配律幺半群无零因子环半群交换环Abel半群（含幺环）群除环Abel群域整环环的定义示图*\{0}RR是乘法半群),(R),,(R环①环有单位元的环交换环②无零因子环④非交换环③整环⑤除环⑥域⑦例①可取偶数环；2Z例②可取数域F上的n阶方阵环；()nMF例③可取模n的剩余类环(n是合数)；nZ例④可取四元数除环的子环H0'1230123{|,,,};HaaiajakaaaaZ例⑤可取整数环或数域F上的一元多项式环Z[];Fx例⑥可取四元数除环;H例⑦可取或或ZQ.R环的关系图§3.2-§3.3目的与要求:◆掌握无零因子环的特征的概念及性质．.◆掌握子环的概念及判别准则;掌握同态、同构的定义及基本性质．§3.2无零因子环的特征例假定是两个循环群，其中，它们的代数运算用＂＋＂来表示,即.作集合.定义运算为那么R显然作成一个环．但这个环的元（a,0）对于加法来说的阶是n，元（0，b）的阶是无穷大．12(),()GaGb(),()oanob12{|},{|}GkakZGmbmZ{(,)|,}RpaqbpqZ1122121211221212(,)(,)(,);(,)(,)(0,0),,,,.paqbpaqbpapaqbqbpaqbpaqbppqqZ上例说明了:在一个环中，两个不为零的元素对于加法的阶可能不相同．在什么样的特殊环，两个不为零的元素对于加法的阶是相同的？定理3.2.1在一个没有零因子的环R中，所有非零元（对于加法而言）的阶都是相同的.证明如果R的每一个非零元的阶都是无限大，那么结论显然成立．0aR若存在，a阶是有限整数n．，则有(0)bR0()()0.0Rnabanbnba无零因子从而，b的阶()().obnoa同样可得，．故有()()oaob()(),,.oaobabR定义3.2.1一个无零因子环R的非零元的相同（对加法来说的）阶叫做环R的特征，记为Ch(R)．如域的特征为p(p为素数)．p注:(1)若无零因子环的非零元的阶为无穷大，则称其特征为0.如Ch()=Ch()=Ch()=Ch()=0.ZQRC(2)对于特征为0的环R，成立.00,(0)mamaaamZ个定理3.2.2如果无零因子环R的特征是有限整数n，那么n一定是个素数．证明假设n不是素数，0aR任意，有,矛盾.但推论3.2.3域F的特征要么是0，要么是一个素数p．例设R是特征为p的交换环，则对有,abR().pppabab证明由于R是交换环，故有1111().ppppppppabacabcabb|,1,,1.ippcip注意由Ch(R)=p可知，0,1,,1.ipiipcabip于是结论成立.§3.3子环与同态定义3.3.1设R是环，S是R的一个非空子集．若S对于R的代数运算来说作成一个环，则称S是R的一个子环，也称R是S的一个扩环，记做.SR类似的，可以定义子整环，子除环，子域的概念.如2.ZZQRC注:（1）任意环R都至少有两个子环：0和R，称之为R的平凡子环.（2）设且，则称S是R的一个真子环.SRSR（3）子环的交仍为子环.•判别准则定理3.3.1(1)设R是环，S是R的一个非空子集，则,,.SRabSabSabS且例1假设R是环，记集合（同每一个元交换的元之集），称为环R的中心，则．(){|,}CRaRabbabR()CRR(2)设R是除环，S是R的一个非空子集，则S是R的子除环1,,(0).abSabSabS且解由于的加法群是一个循环群，故剩余类环的子环关于加法是（，＋）的子循环群，共有下面6个：12Z12Z12Z1([1])SR；2([2]){[0],[2],[4],[6],[8],[10]}S；3([3]){[0],[3],[6],[9]}S；4([4]){[0],[4],[8]}S；5([6]){[0],[6]}S；6([0]){[0]}0.S经检验，它们都是的子环，从而有上面的6个子环.12Z12Z例2求模12的剩余类环的所有子环?12Z附注设，有下面一些事实：SR1.在交换性上(1)若R是交换环，则S也是交换环；(2)若S是交换环，则R未必是交换环．2.在有无零因子上(1)若R无零因子，则S也是无零因子；(2)若S无零因子，则R未必无零因子．3.在有无单位元上(1)若R有单位元，则S未必有单位元；(2)若S有单位元，则R未必有单位元．定理3.3.2设为环同态．(1)若0是R中的零元，则f(0)是R＇中的零元；(2)(3)若，则；(4)若，则:'fRR()(),;fafaaRSR()'fSR''SR1('){|()'}.fSaRfaSR定义3.2.2设和是环，为映射．若f保持运算，即对任意有则称f是环到的一个同态．同样有单同态、满同态、同构的概念．:'fRR,abR()()();()()()fabfafbfabfafb'R'RRR1.在交换性上2.在有无零因子上3.在有无单位元上注意设为环的满同态．则环R与R＇在很多性质上有一定的联系，但并不完全一致．例如有如下几条：:'fRR(1)若R是交换环，则R＇也是交换环；(2)若R＇是交换环，则R未必是交换环．(1)若R无零因子，则R＇未必无零因子；(2)若R＇无零因子，则R未必无零因子．(1)若R有单位元1，则R＇有单位元f(1)；(2)若R＇有单位元，则R未必有单位元．定理3.3.3假定则R是整环（除环、域）R＇是整环（除环、域）．'RR引理3.3.4假定在集合A与A＇之间存在一个一一映射f，并且A中有加法和乘法，可以A＇中定义加法和乘法，使得是同构映射．:'fRR定理3.3.5（挖补定理）假定S是环R的一个子环，S在R里的补足集合（这就是所有不属于S的R的元作成的集合）与另一个环S＇没有共同元，并且那么存在一个与R同构的环R＇，而且S＇是R＇的子环．'SS注意:设为环同构