第六章信号的矢量空间分析

§6.1引言第2页信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。本章主要内容•利用矢量空间方法研究信号理论的基本概念；•信号的正交函数分解；•相关函数；•能量谱和功率谱；•相关、正交概念的应用：匹配滤波器，码分复用技术。§6.2信号矢量空间的基本概念•线性空间•范数•内积•柯西－施瓦茨不等式第4页一．线性空间定义：是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数）相乘后得到此集合内的另一元素。例:第5页二．范数表示，满足以下公理的范数以符号线性空间中元素xx。　　　三角形不等式　　　；　有　　量　正齐性　　对所有数；时当且仅当　正定性　　　yxyx3xx,20x0x,0x1αααmax1def111pxpxxiNipNipip对于对于第6页常用范数第7页这里sup表示信号的最小上界，对于定义在闭区间内的信号，sup表示其幅度值。(3)常用的范数可见，一阶范数表示信号作用的强度。一阶范数第8页物理意义：二阶范数的平方表示信号的能量。二阶范数第9页三．内积直角坐标平面内两矢量相对位置关系利用范数符号，将矢量长度分别写作于是第10页上式表明：给定的矢量长度，标量乘积式反映了两矢量之间相对位置的“校准”情况。即多维三维推广第11页信号空间对于L空间或l空间，信号x与其自身的内积运算为内的两连续信号的内积第12页四．柯西－施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式第13页证明柯西－施瓦茨不等式Cauchy-Schwarz不等式y,yx,xy,x2证明:21222211cosyxyxyx即2122cos,yxyx1,2yy,xx,yx所以y,yxx,y,x21,122yxyx则有对于二维矢量空间，已知有如下关系§6.3信号的正交函数分解•矢量的正交分解•正交函数•正交函数集•复变函数的正交特性第15页将任意信号分解为单元信号之和，从而考查信号的特性。简化系统分析与运算，总响应=单元响应之和。信号分解的目的第16页误差矢量系数两矢量正交怎样分解，能得到最小的误差分量？1V2V21Vc1eV2eVeV22Vc212Vc方式不是惟一的：一．矢量的正交分解第17页正交分解•空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量。•一个三维空间矢量，必须用三个正交的矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：hzjyixV0,hzVjyixVe第18页二．正交函数误差系数第19页相关系数分解的原则：fe(t)的方均值最小，即误差信号功率(能量)最小。,d)(1)(1222e122221cttftttftte最小时的，求令即时的即求出,0dd12122cc求系数c120d)()(dd221211221ttfctfctt交换微积分次序0d)()()(2)(dd212122212122112tttctftftfctfc(1)(2)(3)第20页先微分0d)(2d)()(22121221221ttfcttftftttt可得系数为ttfttftfcttttd)(d)()(2121222112))((0)(dd)1(1212112ctftfc不含因为)()(2)()(2dd)2(21211212tftftftfcc)(2)(dd)3(22122221212tfctfcc再积分)(),()(),(222112tftftftfc第21页有如下定义设矩形脉冲tfπ2π1π01tttf最小。示此函数，使方均误差之间内近似表在区间，试用正弦波波形如图2,0sin(a)ttf112to(a)例6-3-1第22页内近似为在区间函数2,0tfπ4dsindsin)(π202π2012tttttfc所以ttfsinπ4如图虚线所示。的正弦波近似波形是振幅为,π4应满足为使方均误差最小，12ctf11ππ2to(a)tctfsin1244第23页例6-3-2。函数之间内来近似表示余弦在区间试用正弦函数ttcosπ2,0sin显然，由于0dsincosπ20ttt所以012c两函数正交。与或者说分量，不包含正弦信号余弦函数即ttttsincossincos,第24页)(2tfO3t130230d3πsind3πsin3ttttt例6-3-3π2用正弦波逼近三角函数,?tfe3031tttf，303πsin2tttf，3022302112d)(d)()(ttfttftfc)30(3πsinπ2)(1tttf)(212tfCO3t1tf1)(tfeO3t1)(1tfO3t1)()()(2121tfctftfe所以第25页三．正交函数集任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和：原函数近似函数r=0,1,2,...n基底函数第26页分解原则是误差函数方均值最小第27页理解•正交函数集规定：所有函数应两两正交。不能因一个函数集中某几个函数相互正交就说该函数集是正交函数。•是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。•此公式是个通式，适合于任何正交函数集。第28页•两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是c12=0，即：总结•两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。•对一般信号在给定区间正交，而在其他区间不一定满足正交。第29页四.复变函数的正交特性则此复变函数集为正交函数集。§6.4完备正交函数集、帕塞瓦尔定理•完备正交函数集•帕塞瓦尔定理第31页定义1：定义2：一．完备正交函数集第32页二．帕塞瓦尔定理设为完备的正交函数集，即)(tgr误差函数210d)()(1)(21122ettrrrttgctftttf即212121122120d)(d)()(2d)(ttrttrrrrrttttgcttftgcttf因为2121d)(d)()(2ttrttrrttgttgtfc2121d)(d)()(2ttrrttrttgcttgtf代入0d)(d)(2d)(122122212121rttrrrttrrrttttgcttgccttf121222212121d)(ddrttrrrttrrttttgcttgcttf即第33页物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。121222212121d)(ddrttrrrttrrttttgCttgCttf信号的能量基底信号的能量各信号分量的能量数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。§6.6相关•能量信号与功率信号•相关系数与相关函数•相关与卷积的比较•相关定理6.6第35页在一个周期内，R消耗的能量平均功率可表示为设i(t)为流过电阻R的电流，v(t)为R上的电压瞬时功率为一．能量信号和功率信号第36页定义讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：(有限值)(有限值)满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。定义：一般说来，能量总是与某一物理量的平方成正比。令R=1，则在整个时间域内，实信号f(t)的平均功率能量第37页一般规律一般周期信号为功率信号。非周期信号，在有限区间有值，为能量信号。还有一些非周期信号，也是非能量信号。如u(t)是功率信号；而tu(t)为非功率非能量信号;δ(t)是无定义的非功率非能量信号。第38页例6-5-1判断下面的信号是功率信号还是能量信号。第39页数学本质:相关系数是信号矢量空间内积与范数特征的具体表现。物理本质:相关与信号能量特征有着密切联系。1．相关系数由两个信号的内积所决定：二．相关系数与相关函数第40页相关系数此时，能量误差为第41页令相对能量误差为其中的相关系数。与称为tftf2112第42页由柯西－施瓦尔茨不等式，得所以第43页2．相关函数•f1(t)与f2(t)是能量有限信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数•f1(t)与f2(t)是功率有限信号f1(t)与f2(t)为实函数f1(t)与f2(t)为复函数分如下几种情况讨论：第44页(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号①f1(t)与f2(t)为实函数:相关函数定义:可以证明：τ的偶函数第45页相关函数：同时具有性质：(1)f1(t)与f2(t)是能量有限信号②f1(t)与f2(t)为复函数:第46页相关函数：自相关函数：(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号①f1(t)与f2(t)为实函数:第47页相关函数：自相关函数：(2)f1(t)与f2(t)是功率有限信号②f1(t)与f2(t)为复函数:第48页两者的关系即与为实偶函数，则其卷积与相关完全相同。反褶与之卷积即得与的相关函数三．相关与卷积的比较与卷积表达式：与相关函数表达式：第49页说明相关与卷积类似，都包含移位，相乘和积分三个步骤，差别在于卷积运算需要反褶，而相关不需要反褶。①②③第50页四．相关定理若已知则若则自相关函数为第51页由相关函数定义可知取傅里叶变换同理可得：相关定理证明第52页说明1.相关定理表明：两信号互相关函数的傅里叶变换等于其中第一个信号的变换与第二个信号变换取共轭两者之积。2.自相关函数的傅里叶变换等于原信号幅度谱的平方。§6.6能量谱和功率谱6.7第54页能量谱与功率谱1.能量谱由相关定理知所以又能量有限信号的自相关函数是有下列关系第55页若为实数,上式可写成……帕塞瓦尔方程定义……能量谱密度（能谱）所以有所以能谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换对。第56页是功率有限信号2．功率谱fT(t)f(t)ttT2T2-信号f(t)及其截断函数第57页T是有限的，能量有限第58页则的平均功率为：定义f(t)的功率密度函数(功率谱）1.一个极限的概念，2.单位频带内信号功率随频率的变化情况，3.无相位信息第59页并取两端乘以可以得到：即功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换。利用相关定理有：第60页例6-6-1求余弦信号的自相关函数和功率谱。为功率信号,所以自相关函数为:第61页因为功率有限信号的功率谱函数与自相关函数是一对傅里叶变换,所以功率谱为:求功率谱第62页例6-6-2白噪声，其功率谱密度为利用维纳-欣钦关系式，得自相关函数由于白噪声的功率谱密度为常数，所以白噪声的自相关函数为冲激函数，表明白噪声在各时刻的取值杂乱无章，没有任何相关性。求自相关函数。§6.7信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析•能量谱和功率谱分析•信号经线性系统的自相关函数6.8第64页前面，从中研究了系统响应激励现在，从激励和响应的自相关函数，能量谱，功率谱所发生的变化来研究线性系统所表现的传输特性。三者的关系第65页一．能量谱和功率谱分析X时域频域第66页物理意义：响应的功率谱等于激励的功率谱与的乘积。同样，对功率信号有物理意义：响应的能谱等于激励的能谱与的乘积。所以显然第67页二．信号经线性系统的自相关函数由得因为所以其中为系统冲激响应的自相关函数。第68页例6-7-1冲激响应第69页如图(b)所示图（b）第70页（2）相关函数因为考虑到由同样可以求得第71页相关函数图形如图(c)所示