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2019版《高考帮》配套PPT课件第一讲数列的概念与简单表示法【高考帮·文科数学】第六章：数列考情精解读A考点帮∙知识全通关目录CONTENTS考纲要求命题规律命题分析预测考点1数列的通项公式考点2数列的函数特性考点3数列的前n项和与通项的关系考法1利用an与Sn的关系求通项公式考法2数列的单调性及其应用考法3利用递推关系求数列的通项公式B考法帮∙题型全突破文科数学第六章：数列考情精解读考纲要求命题规律命题分析预测文科数学第六章：数列1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.考纲要求命题规律核心考点考题取样考查内容（对应考法）数列的有关概念和表示2016浙江,T17(Ⅰ)利用an与Sn的关系求数列的通项(考法1)2016全国Ⅲ,T172014全国Ⅱ,T16利用递推关系求数列的通项公式(考法3)1.分析预测本讲是高考的热点,主要考查:(1)由数列的递推关系求通项公式,(2)由an与Sn的关系求通项公式,(3)利用数列的函数性质求最值等,主要以填空题、解答题的形式呈现,难度有所下降.2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力和逻辑推理能力.命题分析预测A考点帮·知识全通关考点1数列的通项公式考点2数列的函数特性考点3数列的前n项和与通项的关系文科数学第六章：数列考点1数列的通项公式(重点)1.通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的通项公式,即an=f(n)(n∈N*).数列的通项公式就是相应函数的解析式.注意(1)并不是所有的数列都有通项公式;(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一;(3)对于一个数列,如果只知道它的前几项,而没有指出它的变化规律,是不能确定这个数列的.文科数学第六章：数列2.递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任一项an(n≥2)与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,如an=f(an-1)(或an=f(an-1,an-2))等,那么这个式子就叫作这个数列的递推公式.辨析比较文科数学第六章：数列通项公式和递推公式的异同点不同点相同点通项公式可根据某项的序号n的值,直接代入求出an.都可确定一个数列,也都可求出数列的任意一项.递推公式可根据第一项(或前几项)的值,通过一次(或多次)赋值,逐项求出数列的项,直至求出所需的an.也可通过变形转化,直接求出an.考点2数列的函数特性(重点)1.数列与函数的关系数列可以看成一类特殊的函数an=f(n),它的定义域是正整数集N*或正整数集N*的有限子集{1,2,3,4,…,n},所以它的图象是一系列孤立的点,而不是连续的曲线.文科数学第六章：数列2.数列的单调性类型满足条件递增数列an+1an其中n∈N*递减数列an+1an常数列an+1=an考点3数列的前n项和与通项的关系(重点)1.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn,则an=𝑆1(𝑛=1),𝑆𝑛−𝑆𝑛−1(𝑛≥2).2.已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用,分n=1和n≥2两种情况讨论,特别注意an=Sn-Sn-1中需n≥2.文科数学第六章：数列(2)由Sn-Sn-1=an推得an,当n=1时,a1也适合“an式”,则需统一“合写”;当n=1时,a1不适合“an式”,则数列的通项公式应分段表示(“分写”),即an=𝑆1(𝑛=1),𝑆𝑛−𝑆𝑛−1(𝑛≥2).B考法帮·题型全突破考法1利用an与𝑆𝑛的关系求通项公式考法2数列的单调性及其应用考法3利用递推关系求数列的通项公式文科数学第六章：数列考法1利用an与𝑆𝑛的关系求通项公式考法指导已知Sn求an的一般步骤(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式;(3)对a1进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.文科数学第六章：数列示例1已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=𝑛(𝑛+1)2(n∈N*).(1)求a2的值;(2)求数列{an}的通项公式.思路分析(1)把n=1代入式子nSn+1-(n+1)Sn=𝑛(𝑛+1)2中,求出S2,即可求出a2的值;(2)对式子nSn+1-(n+1)Sn=𝑛(𝑛+1)2进行变形,得𝑆𝑛+1𝑛+1-𝑆𝑛𝑛=12,利用等差数列的通项公式,求出Sn,再利用an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛−𝑆𝑛−1,𝑛≥2求出数列{an}的通项公式.文科数学第六章：数列解析(1)因为a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=𝑛(𝑛+1)2,把n=1代入上式得,S2-2S1=1×22=1.所以S2=1+2S1=1+2a1=3.所以a2=S2-a1=2.(2)由nSn+1-(n+1)Sn=𝑛(𝑛+1)2,得𝑆𝑛+1𝑛+1-𝑆𝑛𝑛=12.所以数列{𝑆𝑛𝑛}是首项为𝑆11=1,公差为12的等差数列……(活用等差数列的定义)文科数学第六章：数列所以𝑆𝑛𝑛=1+12(n-1)=12(n+1).所以Sn=𝑛(𝑛+1)2.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=𝑛(𝑛+1)2-(𝑛−1)𝑛2=n,而a1=1满足an=n,……(注意检验a1=1是否满足an=n)故数列{an}的通项公式为an=n.文科数学第六章：数列突破攻略解答由Sn求an这一类问题的关键是过好“双关”:一是“构造关”,即通过构造等差或等比数列,求出Sn;二是“关系关”,即利用Sn与an的关系an=𝑆1,𝑛=1,𝑆𝑛−𝑆𝑛−1,𝑛≥2便可求出数列{an}的通项公式.拓展变式1已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=2-3Sn(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log2an,求数列{an+bn}的前n项和Tn.文科数学第六章：数列解析(1)当n≥2时,由an=2-3Sn①,得an-1=2-3Sn-1②,①-②得4an=an-1.而当n=1时,a1=2-3a1,故a1=12,因而数列{an}是首项为12,公比为14的等比数列,其通项公式为an=12×(14)n-1=(12)2n-1(n∈N*).(2)由(1)知an=(12)2n-1,故bn=1-2n.文科数学第六章：数列数列{an+bn}的前n项和Tn=a1+b1+a2+b2+…+an+bn=(a1+…+an)+(b1+…+bn)=12[1−(14)𝑛]1−14+𝑛(−1+1−2𝑛)2=23-n2-23×(14)n(n∈N*).考法2数列的单调性及其应用考法指导1.判断数列的单调性的方法(1)作差比较法.an+1-an0⇔数列{an}是递增数列;an+1-an0⇔数列{an}是递减数列;an+1-an=0⇔数列{an}是常数列.(2)作商比较法.①当an0时,则𝑎𝑛+1𝑎𝑛1⇔数列{an}是递增数列;𝑎𝑛+1𝑎𝑛1⇔数列{an}是递减数列;𝑎𝑛+1𝑎𝑛=1⇔数列{an}是常数列.②当an0时,则𝑎𝑛+1𝑎𝑛1⇔数列{an}是递减数列;𝑎𝑛+1𝑎𝑛1⇔数列{an}是递增数文科数学第六章：数列列;𝑎𝑛+1𝑎𝑛=1⇔数列{an}是常数列.(3)结合相应函数的图象直观判断.2.求数列最大(小)项的方法(1)构造函数,确定出函数的单调性,进一步求出数列的最大项或最小项.(2)利用𝑎𝑛≥𝑎𝑛+1,𝑎𝑛≥𝑎𝑛−1求数列中的最大项an;利用𝑎𝑛≤𝑎𝑛+1,𝑎𝑛≤𝑎𝑛−1求数列中的最小项an.当解不唯一时,比较各解大小即可确定.示例2已知数列{an}的通项公式为an=9𝑛(𝑛+1)10𝑛,试判断此数列是否有最大项?若有,第几项最大,最大项是多少?若没有,说明理由.思路分析文科数学第六章：数列解析解法一an+1-an=9𝑛+1(𝑛+2)10𝑛+1-9𝑛(𝑛+1)10𝑛=9𝑛10𝑛·8−𝑛10,当n8时,an+1-an0,即an+1an;当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an;当n8时,an+1-an0,即an+1an.则a1a2a3…a8=a9a10a11…,故数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9=98×9108=99108.文科数学第六章：数列解法二设数列{an}的第n项最大,则𝑎𝑛≥𝑎𝑛−1,𝑎𝑛≥𝑎𝑛+1,即9𝑛(𝑛+1)10𝑛≥9𝑛−1𝑛10𝑛−1,9𝑛(𝑛+1)10𝑛≥9𝑛+1(𝑛+2)10𝑛+1,解得8≤n≤9,又n∈N*,则n=8或n=9.故数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9=99108.文科数学第六章：数列示例3已知{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,则实数λ的取值范围是.思路分析文科数学第六章：数列解析解法一(定义法)因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an+1an,即(n+1)2+λ(n+1)n2+λn,整理,得2n+1+λ0,即λ-(2n+1)(*).因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ-3.解法二(函数法)设f(n)=an=n2+λn,其图象的对称轴为直线n=-𝜆2,要使数列{an}为递增数列,只需使定义在正整数集上的函数f(n)为增函数,故只需满足f(1)f(2),即λ-3.文科数学第六章：数列突破攻略已知数列的单调性求解某个参数的取值范围,一般有两种方法:(1)利用数列的单调性构建不等式,然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决,也可通过分离参数将其转化为最值问题处理;(2)利用数列与函数之间的特殊关系,将数列的单调性转化为相应函数的单调性,利用函数的性质求解参数的取值范围,但要注意数列通项中n的取值范围.文科数学第六章：数列拓展变式2设{an}是等比数列,则“a1a2a3”是“数列{an}是递减数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件文科数学第六章：数列答案C解析设数列{an}的公比为q,因为a1a2a3,所以a1a1qa1q2,解得𝑎10,0𝑞1或𝑎10,𝑞1,故数列{an}是递减数列;反之,若数列{an}是递减数列,则a1a2a3,所以a1a2a3是数列{an}是递减数列的充分必要条件,故选C.文科数学第六章：数列考法3利用递推关系求数列的通项公式考法指导已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法(1)形如an+1=an+f(n),常用累加法(和易求).即利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1),求通项公式.(2)形如an+1=anf(n),常用累乘法(积易求),即利用恒等式an=a1·𝑎2𝑎1·𝑎3𝑎2·…·𝑎𝑛𝑎𝑛−1求通项公式.文科数学第六章：数列(3)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b≠0,1)的数列,常用构造法.其基本思路是:构造an+1+x=b(an+x)(其中x=𝑑𝑏−1),则{an+x}是公比为b的等比数列,利用它即可求出an.(4)形如an+1=𝑝𝑎𝑛𝑞𝑎𝑛+𝑟(p,q,r是常数)的数列,将其变形为1𝑎𝑛+1=𝑟𝑝·1𝑎𝑛+𝑞𝑝.①若p=r,则{1𝑎𝑛}是等差数列,且公差为𝑞𝑝,可用公式求通项;②若p≠r,则采用(3)的方法来求.文科数学第六章：数列(5)形如an+1=p𝑎𝑛𝑟(p0,an0)的数列,常用对数法,即将等式两边取对数后转化为an+1=pan+q型,再利用待定系数法构造数列求解.(6)形如an+1=pan+qn(其中p,q均为