11立体几何复习

线面平行的判定定理、性质定理面面平行的判定定理、性质定理线面垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理、性质定理线线平行线面平行(2)该定理作用：“线线平行线面平行”——空间问题“平面化”////ababa即1.直线与平面平行的判定定理ab//a(1)用该定理判断直线a和平面平行，须具备三个条件：“面外、面内、平行”1、已知:空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.求证:EF//平面BCD.分析：EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD，只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可.AEFBDCEF和面BCD哪一条直线平行呢？直线BD∵在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点证明：∴EF∥BD∴EF∥平面BCDBD平面BCD∩又∵EF平面BCD，连接BD，三角形的中位线是常用的找平行线的方法.,//,////aabbabAabP线不在多，重在相交！2.平面与平面平行的判定定理(1)该定理中，“两条”，“相交”都是必要条件，缺一不可：(2)该定理作用：“线面平行面面平行”(3)应用该定理，关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一平面内两条直线平行即可.线线平行线面平行面面平行1111111ABCDABCDCBD//ABD.2、正方体中，证明平面平面证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，∴D1C1BA是平行四边形，∴D1A∥C1B，又因为D1A平面C1BD，CB平面C1BD.由直线与平面平行的判定，可知同理D1B1∥平面C1BD.又D1A∩D1B1=D1，所以，平面AB1D1∥平面C1BD.D1A∥平面C1BD，1DD1AA1CCB1B平行四边形对边平行是常用的找平行线的方法.3、线面平行的性质定理αmβl线面平行线线平行一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。l//lmml//3.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且EH//FG.求证EH//BD.AEHBDCFG符号语言：baba//,//ba面面平行线线平行4、平面与平面平行的性质定理面面平行线线平行5、直线与平面垂直的判定定理PmnlnmmnPllmlnα线线垂直线面垂直关键：线不在多，相交则行PAABCABOCBCPAC4：已知平面，是圆的直径，是圆周上的一点求证：平面梳理思维:6、平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号:αβaA简记：线面垂直，则面面垂直面面垂直线面垂直线线垂直aa面5如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.分析：找出在一个面内与另一个面垂直的直线.BC⊥平面PAC证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有PA⊥α，BC在α内，∴PA⊥BC，∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB为⊙O直径，∴∠BCA＝90°，即BC⊥CA又∵PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线，∴BC⊥平面PAC，又因为BC在平面PBC内，∴平面PAC⊥平面PBC.垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：//abab，作用：判断线线平行ab线面垂直线线平行7、线面垂直的性质定理线面垂直常用性质：线面垂直线线垂直lbllbbb两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.简述为：面面垂直线面垂直符号表示：8、平面与平面垂直的性质定理异面直线所成角直线与平面所成角二面角如图所示，a，b是两条异面直线，在空间中任选一点O，过O点分别作a,b的平行线a′和b′,abPa′b′O则这两条线所成的锐角θ（或直角），θ称为异面直线a，b所成的角.？任选Oa′若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直.记作：a⊥b.平移两条异面直线所成的角为简便，O点常取在某一直线上abθ的取值范围：θ∈（0°，90°］例2如图正方体中，求（1）直线BA1与CC1的夹角的度数.BACDA1B1C1D145°（2）直线BA1与B1D1的夹角的度数.60°NEXTBACK求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角。三求：在一恰当的三角形中求出角四结论总结：异面直线所成角的求法：如图,已知长方体ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?3232解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其补角）为所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其补角）为所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60o6.课堂练习ABGFHEDC32322PAO四、直线和平面所成的角：如图所示，一条直线PA和平面相交，但不垂直，这条直线叫这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影。斜线和射影所成的锐角叫做这条直线和平面所成的角。斜线斜足射影一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角;一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角.直线和平面所成角的范围是[0，90]A1B1C1D1ABCD例1、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求（1）直线A1B和平面BCC1B1所成的角。（2）直线A1B和平面A1B1CD所成的角。O例题示范,巩固新知注：二面角的平面角的特点：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内10lOABAOB(1)(2)注意：平面角是直角的二面角叫做直二面角二面角的大小的范围:1800寻找平面角CABSD中点在三棱椎S-ABC中，AB=AC,SB=SC,找出二面角S-BC-A的平面角。练习：指出下列各图中的二面角的平面角：BACDA’AB’C’CD’DB二面角B--B’C--AO二面角A--BC--DOE正方体ABCD-A’B’C’D’三棱椎A-BCD