CFD-05=有限差分方法的一些重要概念

ComputationalFluidDynamics计算流体力学（CFD）关于有限差分方法的一些重要概念CFD涉及的几个方面:1、计算机技术2、流体力学知识3、偏微分方程数值求解技术计算网格技术+差分离散格式==》差分解在离散的网格单元上对流体力学控制方程的偏导数项进行差分近似，形成差分方程，求解差分方程得到数值解。CFD课程涵盖的主要内容：流动空间的离散化（网格生成）；流动控制方程的差分近似==》差分方程；差分方程的求解技术；差分方程毕竟不是原微分方程，所以必须对差分解所涉及的方方面面进行理论上的把握：有关差分格式及差分方程的一些重要概念适定性问题：如果偏微分方程的解存在且唯一，解连续地依赖于初始条件和边界条件，则问题是适定的。在试图得到一个数值解之前，检查问题是否适定非常重要。因为不正确或是不准确的边界条件及初始条件有时也会取得数值解。关于差分方程的精度差分方程与原微分方程相比是有所不同的。在一定的离散格式下，差分方程总对应有一个截断误差R。如果以h表示空间方向步长。t时间方向步长。离散精度分为一阶精度O(h)、O(t)二阶精度O(h**2)、O(t**2)关于差分方程的相容性差分方程与微分方程的差别是截断误差R。我们希望，必要时通过缩小空间步长（网格尺寸）h和时间步长t，这一误差应可缩小至尽可能小。当h-0和t-0时，若R-0，则差分方程趋于微分方程，表示这两个方程是一致的。这时称该差分方程与微分方程是相容的。检查相容性是为了保证某一格式的差分方程确是该微分方程的近似方程。前面我们说了差分格式及其精度要求，在数值求解过程中差分方程若能保持格式精度，哪怕只有一阶，其误差毕竟是有限的。但是有些精度分析起来很高的格式算出来的结果却是完全错误的。CFD理论中，只保证相容性与精度是不够的。差分解中还有另外一些规律在起作用：差分解的收敛性与稳定性关于差分解的收敛性差分方程的误差R（由微分方程-差分方程时带来的误差）若令U是精确满足原微分方程的解，没有误差。将微分方程离散成差分方程后，方程就有了截断误差R，因此数值解也不再是U，而是U+∆=V。关于差分解的收敛性∆是方程离散求解过程中带来的，称为解的离散误差。∆虽由截断误差R造成，但它只是解的误差，而R却是差分方程的误差，二者并不相同。我们定义V为差分方程的精确解，即没有舍入误差时精确的满足差分方程的解。V和U的差别仅仅反映截断误差的影响，而没有舍入误差的影响。关于差分解的收敛性V与U的差别是，我们希望，必要时，通过缩小网格尺寸h与时间步长t，不仅截断误差R，而且离散误差∆都应缩至尽可能的小，在求解区域内任一离散节点上，当h-0和t-0时，若∆-0，则V-U，表示这两种解的确是相符合的。这时称差分方程的精确解V收敛于微分方程的解U，称此差分格式为收敛的格式。关于差分解的收敛性R是当地离散点上用差分方程代替微分方程的截断误差，只由当地网格点上的泰勒级数确定；而离散误差∆不仅与R有关，而且是计算过程中时空误差一步步的积累，这就是我们将截断误差与舍入误差区分开来考察的原因。R-0并不意味着∆也-0。相容的格式也可能不收敛，因此，任何格式在检查了相容性之后，必须再检查收敛性。关于差分解的稳定性数值计算时，除计算机舍入误差（字长有限）外，初始条件或方程中某些常数项也有可能给的不尽精确。舍入误差和这些误差在计算过程中可能一步步积累与传递，误差的传递，有时可能变大，有时可能变小。某一步舍入误差放大或缩小的问题，称为差分解的数值稳定性问题。关于差分解的稳定性稳定这一问题最初是用来描述物理现象的。物理上的稳定现象物理上的不稳定现象关于差分解的稳定性求解差分方程时，某一计算步的舍入误差对其后各步的影响若逐步缩小或保持有界，则称数值解是稳定的，也称该差分格式是稳定的；若逐步放大，则称数值解不稳定的，也称该格式不稳定的。这种稳定性是数值误差的缩小或放大，故称为数值稳定性问题。关于差分解的稳定性稳定的格式只是说明，一旦某步有了舍入误差，它对其后各步的影响将逐步缩小或保持有界。实际上每步还会产生自己当地新的舍入误差。总舍入误差一般比当地舍入误差大。积累的结果总是使总舍入误差更大。稳定的格式应能估计误差的最坏的可能组合。不稳定的格式会使某一步的舍入误差逐步放大。因而不能使用。收敛性与稳定性的关系收敛性与稳定性是两个不同的概念，分别属于方程离散过程中和上机计算过程中的两个不同环节。只有既收敛又稳定的格式才能得到有用的结果。有的格式的稳定性很容易检验，而收敛性却很难判断。另一些格式则收敛性容易检验而稳定性很难判断。这直接妨碍了对差分格式的全面判断。在实践中，收敛性与稳定性往往联系在一起。LAX等价定理：对适定的线性初值问题来说，如果差分方程与微分相容，则稳定是收敛的充分必要条件。在定理所述条件下，只需证明稳定，便知它是收敛的；只需证明收敛，便知它是稳定的。避开了既需独立证明稳定，又需独立证明收敛的困难。LAX等价定理只适用于线性问题，对于非线性问题则尚未找到相应规律。任何差分格式，应尽量证明了它收敛与稳定之后再去使用。判断稳定性的方法：直观试验法；vonNeumann的傅立叶谐波分析法；稳定性分析的矩阵方法。判断收敛性的方法：直接检验法；数值试验法；收敛性可借LAX等价定理来间接判断；一个差分格式是否收敛有它本身深刻的物理根源。即差分格式的“信息依赖域”是否正确。流体力学方程复杂，稳定条件常常很难判断。可以试着分析它的信息依赖域，先判断它的收敛性，再借助LAX等价定理来间接判断稳定性。关于显式格式与隐式格式若一个差分方程里只有一个未知数，可以一下子很明显地求出解来，则称为显式差分格式；双曲型方程显式差分格式收敛的必要条件：差分方程的依赖域必须包括相应微分方程的依赖域（从而把特征线也包括了进去）。若一个差分方程里有两个或两个以上未知数，就不能一下子明显地求出解来，而需求解联立方程，则称为隐式差分格式。CFL条件：双曲型方程显式差分格式收敛的必要条件是：差分方程的依赖域必须包括相应微分方程的依赖域（从而把特征线也包括了进去）。这条规律还没有严格的证明，但它通常都符合实际，所以很有实用意义。CFL条件只是收敛的必要条件，并不是充分条件。满足CFL条件只保证差分格式有了正确的信息依赖域。考虑到流体力学方程求解费时，一个好的差分应具有高的运算效率，尽量节省计算机时，快速地收敛到所需的解。设计差分格式的基本要求应是：准、稳、快。Modeling(governingequations)•Navier-Stokesequations(3DinCartesiancoordinates)222222ˆzuyuxuxpzuwyuvxuutu222222ˆzvyvxvypzvwyvvxvutv0zwyvxutRTpConvectionPiezometricpressuregradientViscoustermsLocalaccelerationContinuityequationEquationofstate222222ˆzwywxwzpzwwywvxwutw在数值计算粘性流动问题时应注意真实的粘性不被由于差分化而引入的截断误差所掩盖。这种误差主要来自于无粘项的差分逼近。对于高雷诺数流动这一问题更应引起注意。