数学课件人A必修5第一章1.1.1

天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.1.1正弦定理天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比，即．2.解三角形一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．相等元素天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3.正弦定理的应用正弦定理可以用于两类解三角形的问题：(1)已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另一角．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其他的角和边．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.下列关于正弦定理的命题是否正确？(1)在△ABC中sinA＝sinB，则A＝B；(2)在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.提示：(1)由于在△ABC中，sinA＝sinB，有a＝b，则A＝B，故(1)正确；(2)由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c正确，即(2)正确．2.在△ABC中，若AB，是否有sinAsinB？反之，是否成立？提示：∵AB，∴ab.又∵asinA＝bsinB，∴sinAsinB.反之，若sinAsinB，则ab，即AB.故AB⇔sinAsinB.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点1已知两角及一边解三角形例1：已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b,c.[自主解答]∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理b=asinBsinA=20sin105°sin30°=40sin(45°＋60°)＝10(6＋2)；c＝asinCsinA＝20sin45°sin30°＝202，∴B＝105°，b＝10(6＋2)，c＝202.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.已知三角形的两角分别是45°和60°，它们所夹边的长为1，求最小边的长．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点2已知两边及其中一边的对角解三角形例2：在△ABC中，c＝，C＝，a＝2，求A、B、b.63天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学把本例中“C＝”改为“A＝”，其他条件不变，求C，B，b.34解：∵6sinπ426，∴本题有两解．∵asinA＝csinC，∴sinC＝csinAa＝32.∴C＝π3或2π3.当C＝π3时，B＝5π12，b＝asinBsinA＝3＋1.当C＝2π3时，B＝π12，b＝asinBsinA＝3－1.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2.根据下列条件解三角形：(1)a＝10，b＝20，A＝60°；(2)a＝2，b＝6，A＝30°.解：(1)由正弦定理得：sinB＝bsinAa＝20·sin60°10＝3＞1，∴三角形无解．(2)由正弦定理得：sinB＝bsinAa＝6sin30°23＝32，∴B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝asinCsinA＝23sin90°sin30°＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝asinCsinA＝23sin30°sin30°＝23.∴B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点3利用正弦定理判断三角形的形状例3：在△ABC中，a2tanB＝b2tanA，试判断三角形的形状．[自主解答]在△ABC中，由正弦定理，得asinA＝bsinB，∴ab＝sinAsinB.∴a2b2＝sin2Asin2B.又∵a2tanB＝b2tanA，∴a2b2＝tanAtanB，∴tanAtanB＝sin2Asin2B.∴sinAcosA＝sinBcosB.即sin2A＝sin2B.∴2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学(1)判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．(2)判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．(3)若R为△ABC的外接圆半径，则天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3.已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．解：acosA＋bcosB＝ccosC，①又由正弦定理，asinA＝bsinB＝csinC＝2R0，∴a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．代入①中得2RsinAcosA＋2RsinBcosB＝2RsinCcosC.即sinAcosA＋sinBcosB＝sinCcosC.由二倍角公式得sin2A＋sin2B＝sin2C，即sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝2sinC·cosC.∴2sin(A＋B)·cos(A－B)＝2sinC·cosC.∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sinC≠0.∴cos(A－B)＝cosC.∴cos(A－B)＋cos(A＋B)＝0.∴2cosAcosB＝0⇒cosA＝0或cosB＝0.即A＝90°或B＝90°.∴△ABC是直角三角形．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学在△ABC中，若cosAa＝cosBb＝cosCc，试判断△ABC的形状．[巧思]条件cosAa＝cosBb＝cosCc可变形为acosA＝bcosB＝ccosC，联想正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，可考虑设法消掉a，b，c，从角的角度判断△ABC的形状．[妙解]法一：由正弦定理，令asinA＝bsinB＝csinC＝k(k0)，得a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k≠0)，代入已知式子得cosAksinA＝cosBksinB＝cosCksinC.∴sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC.∴tanA＝tanB＝tanC.又∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C.∴△ABC为等边三角形．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学法二：由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC.又∵cosAa＝cosBb＝cosCc，∴asinA·cosAa＝bsinB·cosBb＝csinC·cosCc.∴cosAsinA＝cosBsinB＝cosCsinC.即sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC.∴tanA＝tanB＝tanC.又∵A、B、C∈(0，π)，∴A＝B＝C.∴△ABC为等边三角形．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝()A．4B．2C.D.233323天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3.(陕西高考)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝，故选B.答案：Bπ2天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学5.在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)则该三角形的形状是________．解析：由已知条件，lg(sinA＋sinC)＋lg(sinC－sinA)＝lgsin2B，∴sin2C－sin2A＝sin2B.由正弦定理可得c2＝a2＋b2.故三角形为直角三角形．答案：直角三角形天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学6.在△ABC中，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.3解：由正弦定理得bsinB＝csinC，sinB＝bsinCc＝32，因为bc，所以BC＝30°.所以B＝60°或B＝120°.当B＝60°时，A＝90°，则a＝csinAsinC＝12.当B＝120°时，A＝30°，则a＝csinAsinC＝6sin30°sin30°＝6.所以a＝6或a＝12.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学解析：因为A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，所以A＝90°，B＝60°，C＝30°.所以a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°＝1∶∶＝2∶∶1.答案：D一、选择题1.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1B.∶2∶1C.∶∶1D．2∶∶13332天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2.一个三角形的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对边长是()A．4B．12C．4D．1233天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3.在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A.a＝7，b＝14，A＝30°B.a＝30，b＝25，A＝150°C.a＝6，b＝9，A＝45°D.a＝30，b＝40，A＝30°天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学4.(辽宁高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosC＋csinB·cosA＝b，且ab，则∠B＝()A.B.C.D.633265天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学5.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝________解析：根据三角形内角和定理，C＝180°－(A＋B)＝30°.根据正弦定理：c＝bsinCsinB＝22sin30°sin45°＝2.答案：2天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学6.在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝，则AC＝________.7.在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝4bsinA，则cosB＝________.解析：由正弦定理得ACsin45°＝3sin60°，得AC＝2.答案：2解析：∵a＝4bsinA，由正弦定理得sinA＝4sinBsinA，∴sinB＝14，cosB＝1－sin2B＝1－142＝154.答案：154天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学解析：∵2AB·AC＝|AB|·|AC|，∴cosA＝12.∴A＝π3.∴a边不是最大边也不是最小边．不