数学课件人A必修5第一章1.1.2

天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.1.2余弦定理天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即a2=，b2=，c2=，b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2.余弦定理的推论在△ABC中，cosA＝，cosB=，cosC＝，b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab3.余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形问题：(1)已知两边及其夹角解三角形；(2)已知三边解三角形．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.若△ABC为钝角三角形，且A90°，则三边a，b，c满足什么关系？2.已知三角形的两边及其夹角，三角形的其他元素是否唯一确定？提示：∵a，b，c为△ABC的三边，且A90°，∴cosA0，即b2＋c2－a22bc0.∴b2＋c2a2.提示：由余弦定理可知：不妨设a、b边和其夹角C已知，则c2＝a2＋b2－2abcosC，c唯一，cosB＝a2＋c2－b22ac，∵0Bπ，∴B唯一，从而A也唯一．综上可知，三角形其他元素唯一确定．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点1已知两边及一角解三角形例1：在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求A、C和a.3[自主解答]法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos30°，a2－9a＋18＝0，∴a＝6或a＝3.当a＝6时，由正弦定理，得sinA＝＝＝1，∴A＝90°，C＝60°.当a＝3时，A＝30°，C＝120°.bBasin3216天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学若将“c＝3，B＝30°”改为“c＝2，A＝30°”，应如何求解此三角形？3天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学三角形中，已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.在△ABC中，边a，b的长是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，求边c.解：由题意：a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19.∴c＝.19天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点2已知三边(三边关系)解三角形例2：在△ABC中，已知a＝2，b＝，c＝3＋，解三角形ABC.363天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学已知三边解三角形的方法及注意事项：(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果惟一．(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小．(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．解：由余弦定理的推论得：cosA＝AB2＋AC2－BC22·AB·AC＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x，由余弦定理知：x2＝AC22＋AB2－2·AC2·ABcosA＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x＝7.所以，所求中线长为7.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点3利用余弦定理判断三角形的形状例3:在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项：(1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3.在△ABC中，acos(B＋C)＋bcos(A＋C)＝ccos(A＋B)，试判断△ABC的形状．解：∵A＋B＋C＝π，∴原式可化为acosA＋bcosB＝c·cosC.由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.故有a·b2＋c2－a22bc＋b·a2＋c2－b22ac＝c·a2＋b2－c22ab整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A.[错解]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×2×22×6＋24＝8－43，所以c＝6－2.又由正弦定理，得sinA＝asinCc＝12.因为0°A180°，所以A＝30°或150°.[错因]注意到已知条件中b＝22a＝2这一隐含条件，可以得BA.所以A＝150°是不可能的．这一结果就是增解，应当舍去．[正解]由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8－43，所以c＝6－2.又由正弦定理，得sinA＝asinCc＝12，因为ba，所以BA.又因为0°A180°，所以A＝30°.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为()A．B．C.D.33612413天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sinC＝2sinB，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.B.C.D.7232332632393天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学4.在△ABC中，b2＝ac，c＝2a，则cosB＝________.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学5.△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________．解析：由已知条件，lg(sinA＋sinC)＋lg(sinC－sinA)＝lgsin2B，∴sin2C－sin2A＝sin2B.由正弦定理可得c2＝a2＋b2.故三角形为直角三角形．答案：直角三角形天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学6.如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．解：在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，设BD＝x，由余弦定理：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠BDA，∴142＝102＋x2－2×10·xcos60°.即x2－10x－96＝0.解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.在△BCD中，由正弦定理：BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD，∴BC＝16sin30°sin135°＝82.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学解析：根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝2.答案：D一、选择题1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()A．8B．2C．6D．21719219天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2．在△ABD中，a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．150°天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3．在△ABC中，a，b，c为角A、B、C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是()天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学4.已知△ABC的三边满足(a＋b＋c)·(a＋b－c)＝3ab，则C等于()A．15°B．30°C．45°D．60°天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学5.在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为______________．二、填空题解析：由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac又∵b2＝ac，∴ac＝a2＋c2－ac.即(a－c)2＝0.∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学7.在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．三、解答题天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学8.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝a.(1)求；(2)若c2＝b2＋a2，求B.2