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天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3.2.1一元二次不等式的解法天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．2.二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系2天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学Δ＝b2－acΔ0Δ＝Δ0y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象ax2＋bx＋c＝(a0)x1，x2x0＝－.ax2＋bx＋c0(a0).{x|x≠－}Rax2＋bx＋c0(a0)...ab2ab2∅{x|xx2或xx1}{x|x1xx2}没有实数根∅天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.若ax2＋bx＋c≥0，a≠0恒成立(或解集为R)，则a、b、c满足的条件是什么？2.当a0时，若方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根α，β且αβ，则不等式ax2＋bx＋c0的解集是什么？提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，条件为b2－4ac≤0，且a0.提示：借助函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，不等式的解集为{x|αxβ}．3.一元二次不等式与二次函数有什么关系？提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合，ax2＋bx＋c0(a0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点1一元二次不等式的解法例1：解不等式：(1)x2－x－60；(2)25x2－10x＋1≤0；(3)－x2＋x4；(4)－2x2＋x＋10.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学解一元二次不等式的三步曲：(1)先求对应方程的根(特别：对于二次项系数为负数时可先化成正数再求解)；(2)画出函数的草图(只需表明图象与x轴的交点及图象开口方向)；(3)根据函数图象写出不等式的解集．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1.解下列不等式：(1)x2＋2x－150；(2)x22x－1；(3)x22x－2.解：(1)x2＋2x－150⇔(x＋5)(x－3)0⇔x－5或x3，∴不等式的解集是{x|x－5或x3}．(2)x22x－1⇔x2－2x＋10⇔(x－1)20⇔x≠1，∴不等式的解集是{x∈R|x≠1}．(3)x22x－2⇔x2－2x＋20.∵Δ＝(－2)2－4×2＝－40，∴方程x2－2x＋2＝0无解．∴不等式x22x－2的解集是∅.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点2可化为一元二次不等式的分式不等式的解法例2:解下列不等式：(1)2x－13x＋1≥0；(2)2－xx＋30.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学若将本例(2)变为2－xx＋31则应如何解呢？天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学考点3含参数的一元二次不等式的解法[自主解答]原不等式可变形为(x－a)(x－a2)0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a0时，有aa2，∴xa或xa2，此时原不等式的解集为{x|xa或xa2}；(2)当0a1时，有aa2，即xa2或xa，此时原不等式的解集为{x|xa2或xa}；(3)当a1时，有a2a，即xa或xa2，此时原不等式的解集为{x|xa或xa2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a0或a1时，原不等式的解集为{x|xa或xa2}；当0a1时，原不等式的解集为{x|xa2或xa}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．例1：解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a30.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ0，Δ＝0，Δ0；第三层次是根的大小的讨论．简记为“一a、二Δ、三两根大小”．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3.解关于x的不等式x(x－a＋1)a.解：原不等式即为x2－(a－1)x－a0，即(x－a)(x＋1)0.①若a－1，则－1xa，此时不等式的解集为{x|－1xa}；②若a＝－1，则不等式为(x＋1)20，无解；③若a－1，则ax－1，此时不等式的解集为{x|ax－1}．综上可知：若a－1，原不等式的解集为{x|－1xa}；若a＝－1，则原不等式的解集为∅；若a－1，原不等式的解集为{ax－1}天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学解关于x的不等式(x－2)(ax－2)0.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学1．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－60}，则M∩N为()A．{x|－4≤x－2或3x≤7}B．{x|－4x≤－2或3≤x7}C．{x|x≤－2或x3}D．{x|x－2或x≥3}解析：M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－60}＝{x|x－2或x3}，∴M∩N＝{x|－4≤x－2或3x≤7}．答案：A天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2.不等式－x2－5x＋6≤0的解集为()A．{x|x≥6或x≤－1}B．{x|－1≤x≤6}C．{x|－6≤x≤1}D．{x|x≤－6或x≥1}3．函数f(x)＝lg的定义域为()A．(1,4)B．[1,4)C．(－∞，1)∪(4，＋∞)D．(－∞，1]∪(4，＋∞)解析：由－x2－5x＋6≤0，得x2＋5x－6≥0，即(x－1)(x＋6)≥0，∴x≥1或x≤－6.答案：D41__xx天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学4.函数y＝x2－x－6的判别式Δ________0，该图象与x轴有________个交点，其交点横坐标为__________．不等式x2－x－60的解集是________，不等式x2－x－60的解集是________．答案：两－2、3{x|x－2或x3}{x|－2x3}5.不等式x2－5x＋6≤0的解集为________．解析：因为方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2和x＝3，故不等式的解集为{x|2≤x≤3}．答案：{x|2≤x≤3}天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学6.解关于x的不等式x2－x－a(a－1)0.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学一、选择题1．不等式6－x－2x20的解集是()天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学2．下列不等式中，解集是R的是()天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学3．已知0a1，关于x的不等式(x－a)x－1a0的解集为()天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学4．若集合A＝{x∈R|x2－4x＋30}，B＝{x|(x－2)(x－5)0}，则A∩B＝()A．∅B．{x|1x2}C．{x|3x5}D．{x|2x3}解析：∵A＝{x|1x3}，B＝{x|2x5}，∴A∩B＝{x|2x3}．答案：D天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学二、填空题填空题5.设集合A＝{x|(x－1)23x＋7}，则A∩Z中有______个元素．解析：由(x－1)23x＋7得x2－5x－60，即－1x6.∴A＝{x|－1x6}．∴A∩Z＝{0,1,2,3,4,5}共有6个元素．答案：66.不等式组x2－10，x2－3x0的解集为________．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学填空题7.不等式2－xx＋40的解集是________．天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学三、解答题9.求下列不等式的解集：(1)x2－5x＋6＞0；(2)－x2＋3x－5＞0.21解：(1)方程x2－5x＋6＝0有两个不等实数根x1＝2，x2＝3，又因为函数y＝x2－5x＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x|x＞3，或x＜2}．(2)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，对于方程x2－6x＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40＜0，所以方程无解，又因为函数y＝x2－6x＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.天成教育TIANCHENGJIAOYU高中同步新课标·数学10.解关于x的不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m0.解：∵原不等式等价于(x－m)(x－m－1)0，∴方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0的两根分别为m与m＋1.又∵mm＋1.∴原不等式的解集为{x|mxm＋1}．