经济高数课件1-2

第二节函数的极限一、数列的极限二、函数的极限R正六边形的面积1A正十二边形的面积2AnnA形的面积为正126,,,,,321nAAAAS“…割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣…”1、割圆术三国时期的数学家刘徽在《九章算术》注中讲到——刘徽一、数列的极限例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n2、数列的定义}.{)1().(.)1(,,,,32121nnnxxxxx记为数列一般项称为数列的通项列的项，其中的每一个数称为数数列称为无穷数列，简称为编号依次排列的一列数，，，按自然数定义注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,,,,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是一个特殊的函数).(nfxn;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn3、数列的极限,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,]1[时只要Nn.1成立有nx如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：;.1的无限接近与刻划了不等式axaxnn..2有关与任意给定的正数N()lim().nnnnnnNnNxxaaxxaxan定义如果对于任意给定的正数不论它多么小，总是存在正整数，对于时的一切，不等式都成立，那么就称常数为数列的极限，记为，或几何解释:2x1x2x2Nx1Nx3xaaa.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当NaaxNnn:定义N其中;:每一个或任给的.:至少有一个或存在.,,0,0limaxNnNaxnnn恒有时使数列极限的定义未给出求极限的方法..1)1(lim11nnnn证明例证明1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,,1N取,时则当Nn,1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即注意：.lim),(2CxCCxnnn证明为常数设例.1,0lim3qqnn其中证明例1.有界性例如,,1nnxn数列,2nnx数列有界;无界.4、数列极限的性质.],[上都落在某一闭区间的点数轴上对应于有界数列MMxn.否则，称为无界有界，成立，则称数列，恒有自然数，使得对一切，若存在正常数对数列定义nnnxMxnMx定理1收敛的数列必定有界.注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.14(1).nnx例证明数列是发散的证明,limaxnn设由定义,,21对于,21,,成立有时使得当则axNnNn),21,21(,aaxNnn时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而nx不可能同时位于长度为1的区间内..,}{,但却发散是有界的事实上nxnn12时，当，NnN102lim(1)0.nnn练习用定义证明nnnn11122证明nn112n1.0)1(lim2nnnn1.关于刘徽的简介刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产．刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观．他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人．刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生．他虽然地位低下，但人格高尚．他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富．《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法．他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根．在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法．在几何方面，提出了割圆术，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．刘徽在割圆术中提出的割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，这可视为中国古代极限观念的佳作．《海岛算经》一书中,刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目．二、函数的极限;)()(任意小表示AxfAxf.000的过程表示xxxxx0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx1自变量趋向有限值时函数的极限.)(0Axxxfy定的值的函数值无限趋近于确的过程中，对应在函数问题：定义).()()(lim)(,)()(0)(.)(100000xxAxfAxfxxxfAAxfxfxxxxxfxx当或记作时的极限，当就叫做函数那么常数都满足不等式，对应的函数值的一切，使得对于适合不等式总存在正数，不论它多么小数如果对于任意给定的正有定义的某一去心邻域内在点设函数定义定义.)(,0,0,0)(lim00AxfxxAxfxx恒有时使当几何解释.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx注意：;)(.10是否有定义无关在点函数极限与xxf..2有关与任意给定的正数)(xfyAAA0x0x0xxyo.,,越小越好后找到一个显然单侧极限例如,.1)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx则设两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近.00xx记作yox1xy112xy左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当}.0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx结论：0lim.xxx例5验证不存在yx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx证明,1)1(lim0xxxxxxx00limlim.11lim0x.sin时的变化趋势当观察函数xxx2自变量趋向无穷大时函数的极限;))(()()(可以任意接近与任意小表示AxfAxfAxf.的过程表示xXx.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”..)(Axxfy定的值的函数值无限趋近于确的过程中，对应在函数问题：).()()(lim)(,)()()(.)(2xAxfAxfxxfAAxfxfxXxXxxfx当或记作时的极限，当就叫做函数那么常数都满足不等式，对应的函数值一切的，使得对于适合不等式总存在正数，不论它多么小数如果对于任意给定的正义大于某一正数时有定当设函数定义定义定义X.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim:.10情形x.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当:.20情形xAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim另外两种情形Axfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且几何解释.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyXxXxsinlim0.xxx例6证明.)(,)(lim的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义xfycycxfx有界性唯一性3函数极限的性质.)(lim存在，则极限唯一若定理xf.),()(,0)(lim00内有界在存在，则存在若定理xUxfxfoxx001lim(),0(0),0,(,),()0(()0).xxofxAAAxUxfxfx定理若且或则当时或保号性.2)(,),(,0),0(,)(lim100AxfxUxAAxfoxx就有时当则若定理).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim200AAxfxfxUxAxfoxx或则或时当且若定理