应力状态分析

§8-1应力状态的概念§8-2平面应力状态分析——解析法§8-3平面应力状态分析——图解法（应力圆）§8-4空间应力的应力状态分析——一点的最大应力§8-5广义胡克定律§8-6强度理论概念§8-7四个经典强度理论莫尔强度理论第八章应力状态分析强度理论AF轴向拉伸杆件FF横截面应力：1、问题的提出§8-1应力状态的概念FpxnFp)2sin(2cos2斜截面应力：问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；.,*maxmaxmaxmaxbISFWMzsz梁弯曲的强度条件：zzFFFl)(问题2固定端B点处应力该如何校核？BBB——有必要研究一点的应力状态。2、一点的应力状态的概念一点应力状态：指构件内任一点处所有不同方位截面上的应力情况。研究应力状态的目的：确定危险截面危险点处不同方位截面上的应力变化规律，确定在那个方向正应力最大，那个方向切应力最大，从而全面考虑构件破坏的原因，建立适当的强度条件。3、一点的应力状态的描述研究一点的应力状态，可对一个包围该点的微小正六面体——单元体进行分析,,各边边长dxdydz在单元体各面上标上应力——应力单元体xyzxyyxyzzyzxxz（1）、主平面与主应力：主平面：切应力为零的平面。主应力：作用于主平面上的正应力。xyxxyy主应力排列规定：按代数值由大到小。321过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力301050单位：MPa;30;10;503213010;30;0;103214、应力状态的分类a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力都等于零的应力状态。b、二向应力状态：有两个主应力不等于零，另一个主应力等于零的应力状态。c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。（2)、应力状态的分类复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。)))cba)))cba)))cba平面应力状态xyxyyxxy平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。空间应力状态yxzxyzxyyxyzzyzxxz空间应力状态：三向应力状态xyx单向应力状态简单应力状态：单向应力状态。xyyxxy纯剪应力状态纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。取一个正六面体，各面上的应力为已知。.,*bISFyIMzzsz如何截取单元体ABDECF如何截取圆轴扭转时的单元体—微小正六面体取一个正六面体，而各面上的应力为已知。.pIT取单元体示例一FPl/2l/2S截面5432154321S截面4PlFMz2PF1x12x22335432154321S截面4PlFMz2PF4x445x5§8－2平面应力的应力状态分析—解析法xxxyyyxyozxyoxyxyxy等价空间问题简化为平面问题由分离体平衡得：;0FndAcos)cos(dAxsin)cos(dAxsin)sin(dAy0cos)sin(dAysin:cos::dAacdAabdAbc单元体各面面积tnxxyxyacbxyxyxyacb一、斜截面上的应力计算0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(,0dAdAdAdAdAFyyxxt2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx由切应力互等定理和三角变换，可得：tnxxyxyacb符号规定：1)“”正负号同“”；2)“”正负号同“”；3)“a”为斜面的外法线与x轴正向的夹角，逆时针为正，顺时针为负。注意：用公式计算时,代入相应的正负号。00即yxxytg220主平面的方位)90;(000002cos2sin2000xyyxdd2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)1()2(讨论：yx0901)、2)、极值主应力以及主平面方位可以确定出两个相互垂直的平面——主平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。22minmax)2(2xyyxyx——主应力的大小yxxytg220----主平面的方位主应力单元体0minminmaxmax3)、极值切应力及所在截面22minmax)2(xyyx——xy面内的最大切应力——最大切应力所在的位置)90;(011112tan2tan10)45(001,2cos2sin2xyyxxyyx22tan101dd令由0minminmaxmax极值切应力单元体。1maxmin例：如图所示单元体，求斜面的应力及主应力、主平面。2sin2cos22xyyxyx)(3.58)60sin()50()60cos(260402604000MPa2cos2sin2xyyx)(3.18)60cos()50()60sin(2604000MPa解：1、求斜面的应力30,50,60,40xyx（单位：MPa）300405060504060yxx2、求主应力、主平面)(7.60,0),(7.80321MPaMPa)(7.60)(7.80)50()26040(2604022MPaMPa22minmax)2(2xyyxyx主应力：yxxytg22016040)50(2005.67主平面位置：31x0xyyxyx2222)2()2(这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆§8-3平面应力的应力状态分析—图解法2222222cossinsincosxyyxxyyxyx对上述方程消参数（2），得：一、应力圆：)0,2(yx圆心：半径：22)2(xyyxRxyoxyxyxyyxyx2222)2()2(C圆的方程式所表示的圆称为应力圆。2yx)0,2(yx圆心：R半径：22)2(xyyxRxyoxyxy2）平面应力状态下任意斜截面上的应力相互制约在圆周上变化。应力圆是个信息源(从力学观点分析)1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面上的应力。xyoxyxyC2yxR二.应力圆的画法①建立直角坐标系以单元体法线x平面上的应力在直角坐标系中确定点，以单元体法线y平面上应力在直角坐标系中确定点。,xxxD,yyyD②连接和交轴于C点，C点即为圆心，为圆的直径，或即为圆的半径。以C为圆心，作圆如图所示。xDyDxyDDxCDyCDc点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力。三、几个对应关系转向对应——半径旋转方向与截面法线的旋转方向一致。二倍角对应——半径转过的角度是截面法线旋转角度的两倍。c2),(Dxnc四.用应力圆确定主应力大小和方位从图可以看出，应力圆和轴相交于A、B两点，由于这两点的纵坐标都为零，即剪应力为零。因此，A、B两点就是对应着单元体中的两个主平面。它们的横坐标就是单元体中的两个主应力。ABcAB221)2(2xyxyxCBOCOB222)2(2xyxyxACOCOA22)2(2xyxyx主应力大小：四.用应力圆确定主应力大小和方位cAB22)2(2xyxyx主应力方位：02EFxD02012根据“转向相同，夹角两倍”的关系，主平面的位置在应力图中以点顺时针转，便得到B点；相对应的单元体则将x面顺时针转，得到的作用面，的作用面也被确定了。102四.用应力圆确定主应力大小和方位cAB22)2(2xyxyx02EF102五、用应力圆确定最大切应力大小和方位应力图中最高点和最低点的纵坐标分别表示应力单元体中的最大、小剪应力，即：0D0D2max2min2xyxR0D0DcAB22)2(2xyxyx02EF1020D0D和所在面相互垂直（应力圆中到经过弧度为）。应力圆中D0A所对应的角度为，单元体中最大剪应力作用面和主应力作用面相差。maxmin0D0D9045maxmin五、用应力圆确定最大切应力大小和方位c22)2(2xyxyx02EFAB0D0D102P011maxmin由极点P确定主应力和最大切应力方位oxxaddac2×45º2×45ºbe六、几种特殊应力圆1)单向拉伸或压缩da(0,)d(0,-)cbe2×45º2×45º3＝1＝主应力单元体2)纯剪切应力状态Po3)平面应力状态（σy=0）xx),(xxxD),0(xyD1302130P0O例：求1）图示单元体α=300斜截面上的应力2）主应力、主平面（单位：MPa）。τσO.;003030EFOF2、量出所求的物理量.2.;0;1023211DCAOAOA408060D’DC1A2A02解：1、按比例画此单元体对应的应力圆020600EF),(3030013P0o31与σ3平行的斜截面上的应力可在σ1、σ2应力圆的圆周上找到对应的点。与σ1平行的斜截面上的应力可在σ2、σ3应力圆的圆周上找到对应的点。与σ2平行的斜截面上的应力可在σ1、σ3应力圆的圆周上找到对应的点。§8-4空间应力的应力状态分析—一点的最大应力空间应力状态：三个主应力均不为零的应力状态.1).弹性理论证明，图a单元体内任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图bo31图a2).整个单元体内的最大切应力为：max31132max结论——3)：整个单元体内的最大切应力所在的平面：3xzy21,2322313223221122,31max321max311322131321331),,(o31121323至少有一个主应力及其主方向已知zxyxyyxyxz三向应力状态特例的一般情形主应力已知简化为求解平面应力状态问题求解出另外两个主应力例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（MPa）解：1)x面为主平面之一MPa5002)建立应力坐标系如图，画y—z平面的应力圆及三向应力圆xyz305040o(MPa)（MPa）10DD/C227505832143max13max解析法——1)由单元体知：x面为主平面之一,50x2)求y—z面内的最大、最小正应力。7.277.57)40()2300(2300)2(22222minmaxyzzyzy7.27;50;7.573213)主应力4)最大切应