应力状态分析与强度理论

第十章应力状态与强度理论及其工程应用§10–1应力状态的概念§10–2§10-3平面应力状态分析§10–5平面应力状态下的胡克定律§10–6工程设计中常用的强度理论§10–7弯扭组合的强度计算§10–8薄壁容器强度设计简述§10–１应力状态的概念一、问题的提出1、铸铁与低碳钢的拉、压试验现象PP铸铁拉伸P铸铁压缩低碳钢的拉伸塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁为什么沿45°线断裂？§10–１应力状态的概念一、问题的提出2、铸铁与低碳钢的扭转试验现象M低碳钢铸铁塑性材料扭转时最后沿横截面剪断，端口光滑、平整脆性材料扭转破坏时沿45°螺旋面扭断，断口呈细小颗粒状二、一点的应力状态1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面上的应力情况。2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分析。四、普遍状态下的应力表示三、单元体：单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；b、平行面上，应力相等。xyzsxszsytxytzx五、原始单元体（已知单元体）：这种各个侧面上的应力均为已知的单元体。例1画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxzCtxytyx六、主单元体、主平面、主应力：主单元体(Principalbidy)：各侧面上剪应力均为零的单元体。主平面(PrincipalPlane)：剪应力为零的截面。主应力(PrincipalStress）：主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，321ssss1s2s3xyzsxsysz单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）：一个主应力不为零的应力状态。二向应力状态（PlaneStateofStress）：一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（Three—DimensionalStateofStress）：三个主应力都不为零的应力状态。Asxsxs1s2s3sysxsx§10–2平面应力状态分析等价sxtxysyxyzxysxtxysyO规定：s截面外法线同向为正；t绕研究对象顺时针转为正；逆时针为正。图1设：斜截面面积为S，由分离体平衡得：Fn00cossinsinsincoscos22tstssSSSSSyxyxyx一、任意斜截面上的应力xysxtxysyOsytxysxstxyOtn图2图1xysxtxysyOsytxysxstxyOtn图2考虑剪应力互等和三角变换，得：0cossinsinsincoscos22tstssSSSSSyxyxyx)2cos1(21cos2)2cos1(21sin22sincossin2{tsssss2sin2cos)(21)(21xyyxyx图1xysxtxysyOsytxysxstxyOtn图2同理：0tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(ststtSSSSSyxyxyxtsst2cos2sin)(21xyyx图1xysxtxysyOsytxysxstxyOtn图2tsst2cos2sin2xyyx对任意斜截面上的正应力和剪应力可表示为：tsssss2sin2cos22xyyxyxtsssss2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值tsss2cos22sin)(xyyxdd设α＝α0时，上式值为零，即02cos22sin)(00tssxyyx二.正应力和剪应力极值和方向02τcos2ατsin2α2)σ(σ20α0xy0yx即α＝α0时，剪应力为零yxxysst22tan0由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：22max4212xyyxyxtsssss22min4212xyyxyxtsssssxysxtxysyO主单元体0dd:1t令xyyxtss22tg1222xyyxminmaxtsstt±）（01045,4面成即极值剪应力面与主平min2max1;ssss2s1s试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题1：一点处的平面应力状态如图所示。ysxsxyt。30MPa，60xsMPa,30xyt,MPa40ys已知解：（1）斜面上的应力tsssss2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.9tsst2cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3.58ysxsxyt（2）主应力、主平面2yxssxyyx22)2(tssmaxsMPa3.682yxssxyyx22)2(tssminsMPa3.48MPa3.48,0MPa,3.68321sssysxsxyt主平面的方位：yxxytgsst2206.0406060,5.1505.105905.150ysxsxyt代入表达式可知s主应力方向：1s5.150主应力方向：3s5.1050（3）主应力单元体：ysxsxyt5.151s3s例2分析受扭构件的破坏规律。解：确定危险点并画其原始单元体求极值应力0yxssPnxyWMtt222122xyyxyxtssssss）（tt2xytxyCtyxMCxyOtxytyxABCDttsstt22minmax2xyyx）（tssts321;0;4522tg00sstyxxy0022tg11tssxyyxx45o-45os3s1s1s3t圆轴扭转时，横截面为纯剪切应力状态，最大拉、压应力在与轴线成±45o斜截面上，它们数值相等，均等于横截面上的剪应力；破坏分析MPa200;MPa240:ssts低碳钢MPa300~198;MPa960~640MPa280~98:bybLbtss灰口铸铁低碳钢铸铁对于塑性材料(如低碳钢)抗剪能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大剪应力使圆轴沿横截面剪断；对于脆性材料(如铸铁)抗拉能力差，扭转破坏时，通常是横截面上的最大拉应力使圆轴沿45°斜截面拉断；§10–5复杂应力状态下的胡克定律一、单拉下的应力--应变关系ExxsxyEsxzEs二、纯剪的应力--应变关系Gxyxytxyzsxxyztxy三、复杂状态下的应力---应变关系依叠加原理,得:zyxzyxxEEEEssssss1xzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1xyzszsytxysx主应力---主应变关系四、平面状态下的应力---应变关系:0zxyzztts13221sssE12331sssE32111sssExyxyGtyxxEs21xyyEs21当一点的应力状态用三个主应力表示时，可使x,y,z的方向分别与的方向一致。依叠加原理,得:321,,sss五、体积应变与应力分量间的关系321aaaV)1()1()1(3322111aaaV3211VVV)(21)(21321zyxEEssssss体积应变与应力分量间的关系:体积应变：13221sssE12331sssE32111sssE六、总应变比能(总应变能密度)1.有关概念：①应变能(变形能)：伴随弹性体的变形而储存在弹性体的能量。用U表示；②比能：单位体积的应变能，用u表示；2.总应变比能：①取主应力状态，假定三个主应力按某一比例由零增加到最终值，则该单元体所储存的应变能为：dxdydz)(21U332211sss②比能：)(21VUu332211sss③代入虎克定律：)](2[21133221232221sssssssssEu七、体积改变比能uv与形状改变比能ud1.有关概念：①单元体的变形：体积改变和形状改变。②体积改变比能(体积改变能密度)：与体积改变相对应的那一部分比能，用uv表示；③形状改变比能（畸变能密度）：与形状改变相对应的那一部分比能，用ud表示；④dvuuu332211212121sssu)(31321ssssms2s3s1图a图cs3-sms1-sms2-smbaE)(21321sss0c312321232221221sssssssssEsm图bsmsm任何应力状态均可分解为只有体积变化的应力状态和只有形状变化的应力状态21323222161ssssssEuuuvd:为单元体的形状改变比能图c图cs3-sms1-sms2-smsm图bsmsm:为单元体的体积改变比能图b23212222222)(6212)21(3)(2[21ssssssssssEEEummmmmmmv一、引子：§10–6强度理论的概念][maxss1、杆件基本变形下的强度条件][max,maxssAFN][maxmaxssWM][*maxttzzsbISF][maxttpWT拉压:弯曲:弯曲:扭转:正应力的强度条件剪应力的强度条件][maxttmaxsmaxt满足][maxss][maxtt是否强度就没有问题了？强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验不断完善，在一定范围与实践相符合，上升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于屈服的强度理论：最大切应力理论和形状改变比能理论(2)塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论1.最大拉应力理论（第一强度理论）材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值01ss－构件危险点的最大拉应力1s－极限拉应力，由单拉实验测得bss00sb1ss断裂条件sssnb1强度条件2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。01－构件危险点的最大伸长线应变1－极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0E/)]([3211sssEb/0s实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件][)(321sssssnb2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）断裂条件EEbssss