应力状态分析和强度理论 - 例题

TSINGHUAUNIVERSITY例1薄壁圆管受扭转和拉伸同时作用（如图所示）。已知圆管的平均直径D＝50mm，壁厚δ＝2mm。外加力偶的力偶矩Me＝600N·m，轴向载荷FP＝20kN。薄壁管截面的扭转截面系数可近似取为2π2PdW＝求：1．圆管表面上过D点与圆管母线夹角为30º的斜截面上的应力；2.D点主应力和最大剪应力。TSINGHUAUNIVERSITY2、确定微元各个面上的应力1．取微元：围绕D点用横截面、纵截面和圆柱面截取微元。στ3PP-3-320kN10637MPaππ50mm102mm10.FFAD＝＝＝＝22-3-3P22600Nm764MPaππ50mm102mm10.xMMeWd＝＝＝＝TSINGHUAUNIVERSITY3．求斜截面上的应力σx＝63.7MPa，σy＝0，τxy＝一76.4MPa，α＝120º。στ三维投影成二维στsin2cos222xyyxyxcos2sin22xyyxTSINGHUAUNIVERSITYMPa7101202cosMPa4761202sin20MPa763...＝＝MPa3501202sinMPa4761202cos20MPa76320MPa763....＝－－＋＋＝求斜截面上的应力sin2cos222xyyxyx120cos2sin22xyyx120TSINGHUAUNIVERSITY3．确定主应力与最大剪应力224212xyyxyx＝MPa6114MPa47640MPa7632120MPa76322....＝＝224212xyyxyx＝MPa950MPa47640MPa7632120MPa76322....＝＝0＝στTSINGHUAUNIVERSITY确定主应力与最大剪应力11146MPa.＝3509MPa.＝20＝D点的最大切应力为13max114.6MPa50.9MPa82.75MPa22－－－＝＝＝TSINGHUAUNIVERSITY例2已知:应力状态如图所示。试：1．写出主应力1、2、3的表达式；2．若已知x＝63.7MPa，xy=76.4MPa，当坐标轴x、y反时针方向旋转α=120后至x′、y′，求:、τ。TSINGHUAUNIVERSITY1.确定主应力应用平面应力状态主应力公式221422xyxyxy221422xyxyxy因为y＝0，所以有0421222xyxx＝0421222xyxx＝又因为是平面应力状态，故有02234212xyxx＝20＝2214212xyxx＝TSINGHUAUNIVERSITY2.计算方向面法线旋转后的应力分量x＝63.7MPa，y＝0；666637010cos2120276410sin2120282.110Pa82.1MPax..66637010sin212076410cos21202xyτ..MPa865Pa108656..xy＝－yx=76.4MPa，α=120αTSINGHUAUNIVERSITY试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。例题3：一点处的应力状态如图。yxxy。30MPa，60xMPa,30xy,MPa40y已知TSINGHUAUNIVERSITY（1）斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02.92cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3.58yxxyα=-30。30MPa，60xMPa,30xy,MPa40yTSINGHUAUNIVERSITY（2）主应力、主平面2yxxyyx22)2(maxMPa3.682yxxyyx22)2(minMPa3.48MPa3.48,0MPa,3.68321yxxyMPa，60xMPa,30xy,MPa40yTSINGHUAUNIVERSITY主平面的方位：yxxytg2206.0406060,5.1505.105905.150yxxy代入表达式可知主应力方向：15.150主应力方向：35.1050MPa，60xMPa,30xy,MPa40yTSINGHUAUNIVERSITY（3）主应力单元体：yxxy5.1513TSINGHUAUNIVERSITY1、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大剪应力（应力单位取MPａ）4060507070TSINGHUAUNIVERSITY50202、求下列主单元体的方位、主应力的大小、最大剪应力（应力单位取MPａ）402040TSINGHUAUNIVERSITYo'''ba'max20030050(MPa)1、求：平面应力状态的主应力1、2、3和最大切应力max。ABTSINGHUAUNIVERSITYO''''b2005030050(MPa)max2求：平面应力状态的主应力1、2、3和最大剪应力max。aABTSINGHUAUNIVERSITY''''O300100(MPa)max3求：平面应力状态的主应力1、2、3和最大切应力max。abAB