应力状态及强度理论(I)

8.1应力状态概述8.2二向应力状态分析8.3二向应力状态的应力圆8.4三向应力状态简介8.5广义胡克定律8.6复杂应力状态的变形比能8.7强度理论概述8.8四种强度理论内容1.回顾简单变形横截面上的应力QstANszIMysPIMtnbISQzzt8.1应力状态概述2.斜截面上的应力是否需要研究？低碳钢扭低碳钢拉铸铁扭铸铁拉当然要研究！FF拉压杆斜截面上的应力FANsFpα=σcosαFpαst2sin2ss2cos3.用什么方法研究斜截面上的应力？是否还要用研究横截面上应力的方法？4、一点的应力状态的概念过一点不同方向面上应力的情况，称为这一点的应力状态。同一面上不同点的应力各不相同（大小、方向）------------应力的点的概念FQFst2sin2ss2cosK同一点在不同方向面上的应力也各不相同----------应力的面的概念。应力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明应力的点的概念;应力的面的概念;应力状态的概念。应力的三个重要概念：单元体：围绕构件上一点取出的一个边长为无穷小（分别为dx,dy,dz）的正六面体。（4）相互垂直两面上剪应力满足剪切双生互等定理。（3）相互平行面上的正应力同为拉或同为压，且数值相等；（2）各面应力均匀分布；（1）dx,dy,dz→0dydxdz5、研究一点应力状态的方法（单元体法）6、单元体的特点zxyxsyszsxytxztzxtyxtzytyzt应力单元体单元体的取法：原则：各表面应力已知或可求。113223FlaS截面内力：S弯矩M=Fl扭矩Mn=Fa剪力Q=F（剪力Q产生的剪应力忽略掉）zxy123MQMn1tWMntzxWMs2tWMnt3tWMntzxWMsS横截面横截面7、主平面(Principalplane)单元体上剪应力为零的平面8、主应力(Principalstress)主平面上的正应力说明:通过构件任一点都可找到三个相互垂直的主平面，三个主平面上的主应力分别记为s1,s2,s3，且规定按代数值的大小顺序来排列,即321sss结论：三个主应力中，有一个是通过这一点所有斜截面上正应力的最大值，有一个是最小值。9、主单元体（各侧面上剪应力均为零的单元体）围绕一点沿主平面方位截取出的单元体。s单向应力状态——三个主应力中只有一个主应力不为零。s简化10、应力状态的分类二向（平面）应力状态——有两个主应力不为零。σ2σ1σ1σ2简化ssσ1σ2σ2σ1三向（空间）应力状态——三个主应力都不为零。σ1σ3σ2例题1画出如图所示梁S截面1-5点的应力状态单元体.54321Fl/2l/2Fl/2l/2S截面S平面254321543211sx1sx1sx2sx2t2t23t3t3例题3分析薄壁圆筒受内压时的应力状态pDyz薄壁圆筒的横截面面积lmmnpDs′nn(1)沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F42DpFDAs442pDDDpAF直径平面(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取下半环为研究对象psyONNd0yF02lplDss2pD022sin20NplDNdDplsxsxyzsytxytyxsxsytxytyx一、平面应力状态的一般情形8.2二向（平面）应力状态分析（解析法）截面法假想地沿斜截面ef将单元体截开,留下左边部分的脱离体eaf作为研究对象xyasxsxtyxtxysxefnefasxtxytyxsysαtααnα二、斜截面上的应力已知：sxsysysytxy求：sαtαα正、负号规定——自x轴正向逆时针转到α面外法线n时，α角规定为正，反之为负。应力的正负号规定：正应力------拉为正，压为负xsxαyssxytyxttn剪应力------使研究对象有沿顺时针方向转动趋势者为正，逆时针为负。tyxtxyt求任意斜截面上应力的方法：0tF0nF平衡方程参加平衡的量——力(应力乘以其作用面的面积)xsxαyssxytyxttαntαfae00nFAdsscoscosdAxtsincosdAxytcossindAyxssinsindAyxsxαyssxytyxttαnteaf设ef的面积为,则：Ad0tF0AdtssincosdAxtcoscosdAxytsinsindAyxscossindAyxsxαyssxytyxttαntxsysxyt整理后得到tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyxst有界、周期函数将上式对α求导数，并令其等于零，有由此解出角度0和0+90°0和0+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.tsssss2sin2cos22xyyxyx考查一下正应力的极值02222]cossin[tsssxyyxddyxxyτss22tan0＝－三、正应力的极值（smax，smin）)90(2tan)1802tan(tan2ooo将0和0+90°代入公式tsssss2222sincosxyyxyx得到smax和smin2222xyyxyxtssssss)(minmax确定正应力的极值yxxyτss22tan0＝－由yxxyτss22tan0＝－故smax和smin作用平面上剪应力为零，此平面就是主平面，smax和smin就是主应力，即smax=s1smin=s202cos2sin2ooxyoyxttss四、主平面、主应力0]2cos2sin2[2tsssxyyxdd而yxxyτss22tan0＝－由解出的角度0和0+90°为主平面的方位。2221)2(2xyyxyxtssssss(1)当sxsy时，则sx偏向s1，sy偏向s2(2)当sxsy时，则sy偏向s1，sx偏向s2(3)当sx=sy时，0=45°，主应力的方向可由单元体上剪应力情况直观判断出来则确定主应力方向的具体规则如下：下面还必须进一步判断0是sx与哪一个主应力间的夹角大偏大，小偏小的原则若约定|0|45°即0取值在±45°范围内，即0是sx与s1之间的夹角，即0是sx与s2之间的夹角tssttsssss2222222cossinsincosxyyxxyyxyx1、最大剪应力作用面的方位02222]sincos[tsstxyyxdd令xyyxtss221tan90111和1+90°确定两个互相垂直的平面，一个是最大剪应力所在的平面，另一个是最小剪应力所在的平面.五、最大剪应力及其作用面方位2、最大剪应力将1和1+90°代入公式tsst222cossinxyyx得到tmax和tmin2)2(2122minmaxsstssttxyyxxyyxtss221tanyxxysst220tan比较和可见012tan12tan4,2220101需要特别指出的是，上述剪应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大剪应力与面内最小剪应力。二者不一定是过一点的所有方向面中剪应力的最大和最小值。sxsytxy图示单元体，已知sx=-40MPa，sy=60MPa，txy=-50MPa.试求ef截面上的应力情况及主应力和主平面的方位.n30°ef(1)求ef截面上的应力MPa.)sin()()cos(sincos3586050602604026040222230tsssssxyyxyx例题1MPa.)cos()()sin(cossin31860506026040222030tsstxyyx(3)求主平面的方位16040502220)(tanyxxysst5.220sx=-40MPasy=60MPatx=-50MPa=-30°因为sxsy，所以0=-22.5°与s2对应5.6790o(2)求主应力的大小MPa7.60MPa7.80)2(22221xyxyxtssssssMPa7.60MPa7.8021sssxsytxy22.5°s1s2两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图中。试求出紧邻c左侧截面上a,b两点处的主应力，并求出主平面的方位。1202709zab250KN1.6m2mABC例题2+200kN50kN+解:(1)首先计算支反力,并作出梁的剪力图和弯矩图Mc-=MC=80kN•mQc-=200kN250KN1.6m2mABCzIMys463310881227011112300120mmzIdIQSzz*t32560005715015120mm).(*zaS1202709zab(2)横截面上a点的应力为MPa.5122azcayIMsMPa6.64*dIQSzzaata点的单元体如图所示asxsxtxytyxmm135aysx=sa=122.5MPa，txy=ta=64.6MPasy=0，tyx=-64.6MPaMPa1502222x1xyyyxtsssss00452005.22MPa272222x2xyyyxtsssssasxsxtxytyx(3)a点的主应力大小(4)a点的主平面方位yxxyτss22tan0＝－asxsxtxytyx0s1s21202709zab(5)横截面上b点的应力MPa5.136bzcbyIMs0btmmyb150b点的单元体如图所示bsxsxb点的两个主应力为s1所在的主平面就是x平面。0,MPa5.13621sssxbsxsx练习题：分析圆轴扭转时最大正应力的作用面，说明铸铁圆试样扭转破坏的主要原因。tts2sintt2cos045ots045ts0452minss1maxss铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即45o螺旋面）断开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyxtss451tss452yxxsst2tan2o练习题：分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。xssss2cos22xxst2sin2x0145245maxxstt低碳钢试样拉伸至屈服时沿45o表面出现滑移线，是由最大剪应力引起的。tsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyxxyyxtss22tan1§8.3二向（平面）应力状态分析——图解法tssttsssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyxtsstsss对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆方程xysxtxysyOsytxysxstxyOtn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）RCstO2yxss圆心（，0）2yxss222xyyxRtss半径一点应力状态的另一种表示方法222222x