应力状态和强度理论1

第七章应力状态和强度理论§7-1概述1、一点处的应力状态引例：试分析图示矩形截面悬臂梁内A点处各方位截面上的应力。AFadcbAa'b'd'c'dxdydz单元体sst'tt't000dxdyAdz单元体点单元体性质：（2）相互平行面上的应力相等。（1）单元体各面上的应力均匀分布；定义：受力构件内一点处不同方位截面上应力的集合（也即通过一点所有不同方位截面上应力的全部情况），称为一点处的应力状态。研究应力状态的目的：通过应力状态分析可以确定该点处的smax、tmax及其作用面方位，从而更好地进行强度分析。adcbAt'ttt'ssadcbAa'b'd'c'dxdydzsst'tt't简化为平面形式描述方法：围绕该点取单元体，并计算x、y面上的应力。efatasa2、强度理论轴向拉（压）、对称弯曲时危险点的应力状态为单轴应力状态强度条件：maxsmaxsmaxss（许用拉（压）应力）unssu()s极限应力ss塑材：bs脆材：扭转时危险点的应力状态为纯剪切应力状态maxt强度条件：maxtt（许用切应力）unttst塑材：bt脆材：sbsbsstt、、、可通过简单实验得出（拉压、扭转实验）以上两个强度条件是建立在实验基础上，当时并未深究是何因素使材料发生强度破坏的u()t极限切应力工程中许多构件的危险点处既有正应力，又有切应力（一般称为复杂应力状态），而应力的组合形式又有无限多的可能性，因此，不可能用直接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。于是，就有必要探求材料破坏（断裂或屈服）的规律。关于材料破坏规律的假设，称为强度理论。§7-2平面应力状态的应力分析•主应力有一对平面上的应力等于零，即不等于零的应力分量均处于同一坐标平面内----------平面应力状态一、斜截面上的应力xyzabcdtxty(a)sxsytysysxtx平面图形efandabctxtytxx(b)sxsxsysytyy方位角a的正负规定：从x轴到外法线n逆时针为正，顺时针为负。tasa应力的正负规定：正应力sa拉为正，压为负；切应力ta以其对单元体内任一点的矩为顺时针转向者为正，反之为负。efbtytxtasasxsy（c）ntsydAsina(d)bftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosadA平衡方程：0nF0cossindsinsindsincosdcoscosddaataasaataassaAAAAAyyxx0tF0sinsindcossindcoscosdsincosddaataasaataastaAAAAAyyxx由此可得，任一斜截面上的应力分量为：atasssssa2sin2cos22xyxyxatassta2cos2sin2xyxefandabctxtytxxsxsxsysytyytasa以上两式反映了平面应力状态下，一点处不同方位斜截面上的应力（sa和ta）随a角变化的规律，也即一点处的应力状态。注意：（1）各值均以代数值带入（2）注意a角正负号当已知时，可由（7-1）和（7-2）式求出，这种方法称为解析法。,aast,xsys,xt讨论：两种特殊情况的斜截面应力分析1.拉（压）杆斜截面上的应力ssa取,xss0yxst可得21cos2cos2assasasin22astacos2sin222xyxyxasssssatasin2cos22xyxasstata(7-1)(7-2)由max0sssmax452sttaefnaxasat（a）（b）FFa2.等直圆杆扭转时斜截面上的应力tttatxnaaasatcos2sin222xyxyxasssssatasin2cos22xyxasstata(7-1)(7-2)由取,xtt0xyss可得sin2astacos2atta（c）（d）max45sstmin45sstmax0tttttttx4545minsmaxsmaxsminseMeMda(a)解：画出C点的应力状态，并计算正应力和切应力MPa7.631004π1050023AFxs例7-1：图示圆轴中，已知：圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力矩Me=7kN·m。求C点a=30°截面上的应力。(b)CxtxsxsxtxtytyyMPa7.3510016π10736PWTxtMPa9.1660sin60cos202030xxxtsss(a)xFMeCFMeMPa4.452cos2sin2030atastxx30°nst-30-30°°0ys二、应力圆atasssssa2sin2cos22xyxyxatassta2cos2sin2xyx两式两边平方后求和可得：222222xyxyxtsstsssaa上式表示了在s为水平轴、t为垂直轴的坐标系下的一个圆。0,2yxss圆心：半径：222xyxRtss由上述推导表明：单元体任一面上应力（sa，ta）和应力圆上点的坐标（sa，ta）一一对应（点、面对应），因此可通过确定应力圆上相应点的坐标来求某一面上应力（sa，ta）。因为应力圆的圆心一定在s轴上，所以只要知道应力圆上的两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。tsOC222xyxtss2yxss),(aatsefandabctxtytxxsxsxsysytyytasa应力圆或莫尔圆应力图的画法已知sx、sy、tx、ty，如图，假定sxsy。txtytxxsxsxsysytyy1．建立轴，取比例尺st2．量取得；量取，得111,xxOBBDst1,xxDst222,yyOBBDst2,yyDst3．连接和两点，交轴于C点，以C为圆心，（或）为半径画圆，此圆即为应力圆。1D2D1CD2CDsstO2DB2ysytCB11DxsxttxtytxxsxsxsysytyystO2DB2ysytCB11Dxsxt要想证明用以上方法所作的圆就是应力圆，只需证明222xyxxCDsst半径证明：22OCOBBC2xyysss2xyss212xyBCCBss则半径2211xxRCDCBBD222xyxsst故上述方法画的圆即为应力圆2xyOCss现在来讨论利用应力圆求sa、ta。efandabctxtytxxsxsxsysytyytasast1DxsxtO1BC2B2Dytys02aE2aatasF在应力圆上由逆时针转角到，则E点的横坐标为，纵坐标为。2a1CDCEatas证明：OFOCCF0cos22OCCEaa100cos2cos2sin2sin2OCCDaaaa1010cos2cos2sin2sin2OCCDCDaaaacos2sin222xyxyxssssataas同理可证：EFat利用应力圆对平面应力状态作应力分析的方法，称为图解法。在应用时应注意：单元体上任意A、B两个面的外法线之间的夹角若为，则在应力圆上代表该两个面上应力的两点之间的圆弧段所对的圆心角必为2，且两者的转向一致。ABostCA1B12解：按一定比例画出应力圆。MPa7.63xs0ysMPa7.35yxtt例7-2：用图解法求图示a=30°斜截面上的应力值。x30°txsxynCF30t30sstO20,35.7D163.7,35.7DE6030MPa在应力圆上由顺时针转到60°确定E点，量取1CD303017MPa,46MPaooOFEFst三、主平面和主应力a0s2s1s1s20,max1sA0,min2sA主平面：剪应力t=0的平面；主应力：主平面上的正应力。321sss321sss由弹性力学可以证明：对受力构件内的任一点一定可以找到三个互相垂直的主平面，即一定存在一个由主平面构成的单元体，称为主单元体。并规定：由图可见：txsysx2sstO2DA2CA11D1s2a0一点处有三个主应力：s1、s2、s3且主单元体主平面方位：111CAOCOAs222CAOCOAs主应力值：a0s2s1s1s2txsysx2sstO2DA2CA11D1s2a02222xyxyxtssss2222xyxyxtssssyxxxCBBDssta2)2tan(110所以yxxssta2arctan20即可确定s1所在主平面的方位02tanaIV象限。yxxssta22tan002tana02tana注意：2a0的值与其所在的象限有关，而其所在象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：I象限；II象限；III象限；yxxssta2arctan20例7-3求图示应力状态的主应力及主平面方位（绘出主单元体）。MPa100xsMPa40xtMPa30ysMPa40yt40,1001D40,302D解：1、应力圆图解法：作出应力圆y30MPa100MPa40MPaxs1s32a0MPa3.363.76353sMPa3.1113.76351s02s6.3120a8.150a110030652CBss1a0tD1D2A3A1sOCB1B21006535OC22654076.3R615.065402tan0a2、解析法MPa3.11122221xyxyxtsssssMPa3.3622223xyxyxtsssss)2arctan(20yxxssta6.3120a02s8.150a所以：⇒y30MPa100MPa40MPaxss1a013080arctan)30100402arctan(是第一象限角02a例7-4：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b所示，梁的尺寸见图c。试用应力圆求梁危险截面上a、b、c三点处的主应力，并绘出主单元体。解：首先作出梁的剪力和弯矩图(a)B1.6m2mA250kNC(b)f由图知：C左截面为危险截面mkN80CMkN200SCF200kN50kNFSx(d)M(kN·m)80x(e)za(c)b12015270159c4633m10881227.0111.0123.012.0zI36*m102560075.015.0015.012.0zaSm135.0aya点处正应力和切应力分别为：MPa7.122135.01088108063azCayIMsMPa6.64109108810256102003663*SdISFzzaCat惯性矩Iz和静矩、的计算：*zaS*zcSza(c)b12015270159c336*m0675.0009.0135.0m10256zcS36m10338a点的应力状态如图f所示，选定适当的比例，即可绘出相应的应力圆，如图g所示。ty(f)tyytxsxxtxsxsx=122.7MPatx=64.6MPaty=-64.6MPas/MPat/MPaOA3A1CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)s3s12a0(g)由应力圆可得a点处的主应力为：MPa4.1506.6427.12227.1222211CAOCsMPa7.276.6427.12227.12222