应力状态和强度理论、第三讲

§7-5空间应力状态的应变能密度物体受外力作用而产生弹性变形时，在物体内部将积蓄有应变能，每单位体积物体内所积蓄的应变能称为应变能密度。对于在线弹性范围内、小变形条件下受力的物体，所积蓄的应变能只取决于外力的最后数值，而与加力顺序无关。为便于分析，假设物体上的外力按同一比例由零增至最后值，因此，物体内任一单元体各面上的应力也按同一比例由零增至其最后值。20现按此比例加载的情况，来分析已知三个主应力值的空间应力状态下单元体的应变能密度。对应于每一主应力，其应变能密度等于该主应力在与之相应的主应变上所作的功，而其他两个主应力在该主应变上并不作功。因此，同时考虑三个主应力在与其相应的主应变上所作的功，单元体的应变能密度将由主应力与主应变表达的广义胡克定律公式代入上式，经整理简化后得133221232221221在一般情况下，单元体将同时发生体积改变和形状改变。若将主应力单元体分解为体积改变的单元体和形状改变的单元体，则单元体的应变能密度即为体积改变能密度和形状改变能密度之和。对于一般空间应力状态下的单元体，其应变能密度可用6个应力分量来表达。由于在小变形条件下，对应于每个应力分量的应变能密度均等于该应力分量与相应的应变分量的乘积之半，故有§7-6强度理论及其相当应力为了建立空间应力状态下材料的强度条件，需要寻求导致材料破坏的规律，即研究强度理论。由材料在拉伸、压缩以及扭转等试验中发生的破坏现象，发现材料破坏的基本形式有两种类型：一类是在没有明显的塑性变形情况下突然断裂，称为脆性断裂。如铸铁试样在拉伸时沿横截面的断裂和铸铁圆试样在扭转时沿斜截面的断裂都属于这种类型。另一类是材料产生显著的塑性变形而使构件丧失正常的工作能力，称为塑性屈服。如低碳钢试样在拉伸(压缩)或扭转时都会产生显著的塑性变形，有的并会出现屈服现象。长期以来，通过生产实践和科学研究对这两类破坏形式，曾提出过不少关于材料破坏因素的假设，下面主要介绍在工程中常用的四个强度理论。第一类强度理论是以脆性断裂作为破坏标志的，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。远在17世纪时，就先后提出了这一类理论，因为当时建筑材料是砖、石、铸铁等脆性材料，所以，观察到的破坏现象多为脆断。但提出这两个理论时，只认为破坏的原因是最大正应力(包括拉应力和压应力、或最大线应变(包括伸长和缩短)。到后来才明确了脆断只有在以拉伸为主的情况下才可能发生，因此，经过修正后就采取了如下所述的形式。最大拉应力理论也称为第一强度理论。这一理论的假设是：最大拉应力是引起材料脆断破坏的因素。也就是认为不论在什么样的应力状态下，只要构件内一点处的三个主应力中最大的拉应力，达到材料的极限应力fu，材料就发生脆性断裂。至于材料的极限应力，则可通过单轴拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定。于是，按照这一强度理论，脆性断裂的判据是u1一、最大拉应力理论建立的强度条件为1上式的左边为拉应力。在没有拉应力的三轴压缩应力状态下，显然不能采用第一强度理论来建立强度条件。而式的右边为试样发生脆性断裂的许用拉应力，也不能单纯地理解为材料在单轴拉伸时的许用应力。最大伸长线应变理论也称为第二强度理论。这一理论假设：最大伸长线应变是引起材料脆性断裂的因素，也就是认为不论在什么样的应力状态下，只要构件内一点处的最大伸长线应变达到了材料的极限值，材料就会发生脆断破坏。同理，材料的极限值同样可通过单轴拉伸试样发生脆性断裂的试验来确定。如果这种材料直到发生脆性断裂时都可近似地看作线弹性，即服从胡克定律，则二、最大伸长线应变理论式中就是单轴拉伸试样在拉断时其横截面上的正应力。于是，按照这一强度理论脆性断裂的判据是由广义胡克定律公式可知，在线弹性范围内工作的构件，处于复杂应应力状态下一点处的最大伸长线应变为32111经变换得在以上分析中引用了广义胡克定律，所以，按照这一强度理论所建立的强度条件应该只适用于以下情况，即构件直到发生脆断前都应服从胡克定律。必须注意，在式上右边所用的许用应力是材料在单轴拉伸时发生脆性断裂的许用拉应力，像低碳钢一类的塑性材料，是不可能通过单轴拉伸试验得到材料在脆断时的极限值应变值的。所以，对低碳钢等塑性材料在三轴拉伸应力状态下，该式右边不能理解为材料在单轴拉伸时的许用拉应力。321实验表明，这一理论与石料、混凝土等脆性材料在压缩时纵向开裂的现象是一致的。这一理论考虑了其余两个主应力对材料强度的影响，在形式上较最大拉应力理论更为完善。但实际上并不一定总是合理的，如在二轴或三轴受拉情况下，按这一理论反比单轴受拉时不易断裂，显然与实际情况并不相符。一般得说，最大拉应力理论适用于脆性材料以拉应力为主的情况，最大伸长线应变理论适用于压应力为主的情况。由于这一理论在应用上不如最大拉应力理论简便，故在工程实践中应用较少，但在某些工业部门(如在炮筒设计中)应用较为广泛。第二类强度理论是以出现塑性屈服或发生显著的塑性变形作为破坏标志的，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。这些理论都是从19世纪末叶以来，随着工程中大量使用像低碳钢一类塑性材料，并对材料发生塑性变形的物理本质有了较多认识后，先后提出和推广应用的。最大切应力理论又称为第三强度理论。这一理论的假设是最大切应力是引起材料塑性屈服的因素，也就是认为不论在什么样的应力状态下，只要构件内一点处的最大切应力达到了材料屈服时的极限值，该点处的材料就会发生屈服。至于材料屈服时切应力的极限值，同样可以通过单轴拉伸试样发生屈服的试验来确定。对于像低三、最大切应力理论碳钢一类的塑性材料，在单轴拉伸试验时材料就是沿最大切应力所在的45°斜截面发生滑移而出现明显的屈服现象的。这时试样在横截面上的正应力就是材料的屈服极限，于是，对于这一类材料，可得材料屈服时切应力的极限值为2su2maxsu所以，按照这一强度理论，屈服判据为通过转换得强度条件式为31应该指出，在上式右边采用了材料在单轴拉伸时的许用拉应力，这只对于在单轴拉伸时发生屈服的材料才适用。像铸铁、大理石这一类脆性材料，不可能通过单轴拉伸试验得到材料屈服时的极限值，因此，对于这类材料在三轴不等值压缩的应力状态下，以上式作为强度条件时，该式右边的许用应力就不能理解为材料在单轴拉伸时的许用拉应力。形状改变能密度理论通常也称为第四强度理论。这一理论的假设是：形状改变能密度是引起材料屈服的因素，也就是认为不论在什么样的应力状态下，只要构件内一点处的形状改变能密度达到了材料的极限值，该点处的材料就会发生塑性屈服。对于像低碳钢一类的塑性材料，因为在拉伸试验时当正应力达到屈四、形状改变能密度理论服值时就出现明显的屈服现象，故可通过拉伸试验来确定材料的形状改变能密度极限值。为此，可利用下式根据这一强度的观点经过转换运算得到强度条件式为321,,是构件危险点的三个主应力同理，上式右边采用材料在单轴拉伸时的许用拉应力，因而，只对于在单轴拉伸时发生屈服的材料才适用。试验表明，在平面应力状态下，一般的说，形状改变能密度理论较最大切应力理论更符合试验。由于最大切应力理论是偏于安全的，且使用较为简便，故在工程实些丛明较为广泛。从四个强度理论形式来看，它们所建立的强度条件可统一写作作下式五、相当应力r是根据不同强度理论所得到的构件危险点处三个主应力的某些组合。从式的形式上来看，这种主应力的组合和单轴拉伸时的拉应力在安全程度上是相当的，因此，通常称为相当应力。用号表示四种强度理论的表达式如下：rr(最大拉应力理论)11r3212r（最大伸长线应变理论）(最大切应力理论)313r2132322214r)()()(21(形状改变能密度理论)六、平面应力状态特例已知：和，试写出最大切应力理论和形状改变能密度理论相当应力的表达式。解：首先确定主应力2＝0223122最大切应力理论形状改变能密度理论的相当应力r4==2＋3222313r4作业7-227-237-247-26