上服从均匀分布求随机变量的概率密度函数解

本次课讲授第二章的2.4-2.5.2下次课讲授第二章2.5.3-2.7。下周一上课时交作业P21—P24，重点：二维变量的分布难点：二维连续变量的分布第七讲变量函数的分布与二维分布第七讲变量函数的分布与二维分布定区画线变分布。连续变量函数时，；自变（量）概率和解出，离散变量函数复习P例1(1988)：设随机变量X在[1,2]上服从均匀分布,2XYe求随机变量的概率密度函数().Yfy解:因随机变量X在[1,2]上服从均匀分布:;.1120Xxfx其它yxeyeyexeyeYxXxfeyxxln21,21.,21),(242422或，对应曲线为定义平面为：的定义开区间为：得的定义区间为知和分析：由2()()()XYFy=PYy=Pey时，当42eyeyxXyxxeyeyyxxln21ln2122曲线的左侧，即在同一曲线点递增，则对应的的上方，且在曲线第七讲密度函数与变量函数分布.2412()0Yeyeyfy=其它yYdxxfyxXPyFln21)()ln21()(所以，11ln211()=0ln-1.2yYFydx+dx=y所以：的定义区间是因为],2,1[X224401()ln121YyeFy=y-eyeye的原则：右取间外左根据随机变量有定义10第七讲密度函数与变量函数分布例2（95研6分）的概率密度。求随机变量的概率密度设随机变量XxXeYxxexfX.00,0)(yxeyYXYYXXxfeYxXln.1,0.1,0)(或对应曲线：定义平面为：为的定义开区间得的定义区间为知和解：由)()()(,0ln1yePyYPyFyxyXY即：时，.110)()ln()()(ln0ln00lnyedtedtdttfyxXPyePyFyyttyxXXY的左侧，即：在同一曲线上方时，对应的在曲线当任意yxxeyyyxxln),,(第七讲密度函数与变量函数分布1,0,1,1)()(2yyyyFyfYY通过分布导密度。连续函数定区间，离散对应和解出；变量函数求分布，概括1,0,1,11)(yyyyFY的原则：右取间外左根据随机变量有定义，10第七讲密度函数与变量函数分布2.二维离散随机变量（X，Y）的联合概率分布定义：个一维组成的数组。维就是随机变量，简言之，维离散上的一个）是随机变量，则称（个离散型，上的是定义在样本空间设nnnXXXnXXXnn,,,,,,2121变量）称为二维离散型随机，上，（）定义在，上，则（定义在、有序数对，即是两个一维变量组成的因此，二维随机变量就YXYXYXYXYXYXxy},/),{(一、二维离散型随机变量及其联合概率分布1.N维离散随机变量定义：第七讲二维离散分布：有值，用公式表示如下的所、是其中概率，记作发生的联合）都发生的概率称为）与（（，则是二维离散型随机变量、：设（二维联合分布YXjiyxyYxXPyYxXyYxXYXYXPjijijii.,2,1,),,(),,(),()),(,件的积的概率。对应变量取值即对应事定义表明：联合概率为3.二维离散随机变量联合概率的性质：,2,1,01jipij，）非负性：（12ijijp）规范性：（)()(),()(.411jYiijjiXjijiyPpyYPxPpxXP边缘概率的单变量概率函数称为边缘概率：二维状态下第七讲二维离散分布ijjijijipyxPyYxXPyYxXP),((),(）〕（）〔)]()[({}),()(){(])(()[(])[()(1211jjiniiijjiYiiyYxXPyYxXyYxXyYxXPyYxXPxXPxXP.1概率之和为互斥得：所有变量点的的事件之和，由变量点所有变量点离散变量的样本空间是在一维时我们就知道：1111),()]()[()]}()[({)(jijjjijjijjiipyYxXPyYxXPyYxXPxXP和。即：，和的概率等于概率的由于离散点互斥，所以布表表示合分布和边缘分布用分经常地，二维变量的联穷求和。概率对另一个变量的无概括：边缘概率是联合第七讲二维离散分布X\Yy1y2……ymPX(x)x1P11P12P1mP(x1)x2P21P22P2mP(x2)……xnPn1Pn2PnmP(xn)PY(y)P(y1)P(y2)P(ym)6.二维离散型随机变量的条件分布（律）第七讲二维离散分布例7-1-1(2001)服从参数为设某班车起点站上车乘客人数X的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),中途下车与否相互独立,以Y表示在中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m个人下车的概率;(2)二维随机变量(X,Y)的联合概率分布.(0)λλ.()(1)mmn-mnPY=mX=nCp-p解:(1)012m=,,,,n.)/()()]()[(),(2)/(1nXmYPnXPmYnXPmYnXPmnnXmYPYX法公式）由联合概率定义和乘次的概率；（试验中中途下车恰发生次即）求是中途下车人数，（是上车人数，分析：第七讲二维离散分布)=P{(=)(=)}(=)()(1)!n-λmmn-mnP(X=n,Y=mXnYmλ=PXnPY=mX=neCp-pn.(1)!()!n-λmn-mλep-pmn-m012m=,,,,n.012n=,,,.,()!n-λλPX=nen012n=,,,.(2)因X服从参数为的泊松分布,(0)λλ第七讲二维离散分布例题7-1-2(04,数学一，两问9分）的概率分布。求二维随机变量不发生，发生，不发生，发生令为随机事件，且、设),(,0,10,1,21)/(,31)/(,41)(YXBBYAAXBAPABPAPBA和条件概率公式应用联合概率等于积的概率各个点的概率，注意：量所有点，然后再求率分布定义，先列出变分析：根据离散变量概121)/()()()1,1()1,1();1,1(),1,0(),0,1(),0,0(),(ABPAPABPYXPPYX相应概率为：的所有取值解：由已知，易得6112141)()()()0,1()0,1(ABPAPBAPYXPP第七讲二维离散分布)()()()1,0()1,0(ABPBPBAPYXPP12112161)1,0(:6121121)/()()(),/()()(PBAPABPBPBAPBPABP，代入列表如下：.32121611211)0,0()0,0(YXPPXY10121321216110第七讲二维离散分布二、二维连续型随机变量的联合分布函数1.联合分布函数定义：)]()[(),(),(),(,,,2yYxXPyYxXPyxFYXyYxXyxRYX的联合分布函数，即：都发生的概率为与称事件的任意的则对）为一二维随机变量，因此，设（2.二维联合分布的几何解释的几何解释：),()(yxF1积求联合分布，因此：况，且用单变量区间之函数表示其概率分布情分布函数和密度上连续随机变量也使用和一维一样，二维及以合分布简称联合分布函数或联的联合分布概率函数，维随机变量为称),,,()]()()[(),,,(),,,(:212211221121nnnnnnXXXnxXxXxXPxXxXxXPxxxF第七讲二维变量的概率分布与边缘概率分布第七讲二维变量的概率分布XY0),(yx1-7图),(11yx),(21yx),(12yx),(22yxⅠⅡⅢⅣ2-7图0),(),(),(),(11122122yxFyxFyxFyxFSSyYyxXxP12121,由集合描述：性质：（1）F(x,y)是变量x(或y)的单调非减函数，3.二维联合分布的性质);,(),(,2121yxFyxFxx则若).,(),(,2121yxFyxFyy则若同样对任意固定的x,即对任意固定的y,由二维联合分布的几何解释，我们容易地得出下列结论：且：,),(10yxF.1),(F,0),(lim),(yxFxFy,0),(yF,0),(F1),(02F，只有的分布即为时，有）非负规范：极限状态（第七讲二维变量的概率分布与边缘概率分布来确定其分段取值要根据此时上，则定义在特殊地，若PyxFGYXPGYXPGYX),(,0]),[(,1]),[(),(4.二维分布下的边缘分布。分布，记作：的边际分布，又称边缘称为的分布分量的联合分布，则每一个是）设（)(),(),(,),(),(1yFxFyxFyxYXyxFYX),(lim),(),(),()(yxFxFxFYxXPYxXPxXPxFyYX其中：5.离散变量（X,Y）的分布函数xxyyijxxyyjiijijpyYxXPyYxXPyYxXPyxF),()}(){(),(),(根据分布函数定义：则为二维离散随机变量，到二维离散变量。设这一点，同样可以推广，变量，还包括离散变量的定义对象不只是连续数，我们就知道，分布函在学习一维随机变量时),()(YXxF第七讲二维变量的概率分布与边缘概率分布),(lim),(),(yxFyFyYXPyFxY同理：穷极限。分布对另一个变量的无显然，边缘分布是联合三、二维连续型随机变量的密度函数yxyyYyxxXxPDDYXPyxfYXDDD),(lim]),[(lim),(),(00的联合概率密度，即的区域概率的极限为单位面积联合密度定义：.1(1):由分布导数求密度：根据二阶混合导数定义：2.密度与分布函数和区域概率的关系yxyxFyxyxFyyxFyxxFyyxxFyxyyYyxxXxPyxfyxyx),(),(),(),(),(lim),(lim),(20000.yxD视为矩形很小时，可第七讲二维变量的概率分布与边缘概率分布),(),(yxFyxfxy所以：：由密度二重积分求分布)2(xyxyxyxyxyxydudvvufyxFFFyxFdudvvuFdudvvufvuFvufyxFyxf),(),(,0),(),(),(),(),(),,(),(),,(),(重积分原函数概念：两边求无穷积分：由二dxdyyxfDYXPDD),(]),[()3(上的概率：由联合密度求区域无限求和：小区域两边乘以区域面积并对将由联合密度概念：iiiDDDDDDYXPyxf1]),[(lim),(第七讲二维变量的概率分布与边缘概率分布dxdyyxfDYXPDYXPDDDYXPDyxfDDiDDDDijiiiii),(]),[(]),[(lim]),[(lim),(0义：面积乘高、无穷求和定根据重积分的分割、底4.用联合密度求边缘密度的边缘密度又称为的分布密度，分别为单变量，则：联合分布边缘密度定义：若已知),(,),()(),()(),,()(yxFyxyFyyFyfxFxxFxfyxFYYXX1第七讲二维变量的概率分布与边缘概率分布duug