第四章 第2讲 导数在函数中的应用

考纲要求考纲研读1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次).1.用导数可求函数的单调区间或以单调区间为载体求参数的范围．2．某点的导数值为零是该点为极值点的必要不充分条件，能利用极值点处的导数值为零求参数的值.第2讲导数在函数中的应用1．函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内__________；如果f′(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内___________．单调递增单调递减2．判别f(x0)是极大、极小值的方法若x0满足f′(x0)＝0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值．且如果f′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的_______点，f(x0)是_______；如果f′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的______点，f(x0)是______．极大值极大值极小值极小值1．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4C)D2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(A．(－∞，2)B．(0,3)C．(1,4)D．(2，＋∞)x2＋a3．若函数f(x)＝x＋1在x＝1处取极值，则a＝___.34．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋16的单调减区间为________．5．(2011届北京海淀区联考)函数f(x)＝lnx－2x的极值点为___.(－1,11)12考点1讨论函数的单调性例1：设函数f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)．(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．解题思路：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值．解析：(1)f′(x)＝3x2－3a，∵曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处与直线y＝8相切，∴f′2＝0，f2＝8⇒34－a＝0，8－6a＋b＝8⇒a＝4，b＝24.(2)∵f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，当a＜0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点．当a＞0时，由f′(x)＝0⇒x＝±a.当x∈(－∞，－a)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．当x∈(－a，a)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减．当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．∴此时x＝－a是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题的a＝4用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．【互动探究】1．(2011届广东台州中学联考)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是()D例2：(2011年陕西)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g1x的大小关系；(3)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜1a对任意x＞0成立．考点2导数与函数的极值和最大(小）值解析：(1)由题设知f′(x)＝1x，则g(x)＝lnx＋1x.∴g′(x)＝x－1x2，令g′(x)＝0得x＝1.当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，g(x)是减函数，故(0,1)是g(x)的单调减区间．当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)是增函数，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间，因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴g(x)的最小值为g(1)＝1.(2)g1x＝－lnx＋x，设h(x)＝g(x)－g1x＝2lnx－x＋1x，则h′(x)＝－x－12x2，当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g1x.当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)0，h′(1)＝0，因此函数h(x)在(0，＋∞)内单调递减．当0x1时，h(x)h(1)＝0，∴g(x)g1x.当x1时，h(x)h(1)＝0，∴g(x)g1x.(3)由(1)知g(x)的最小值为1，∴g(a)－g(x)1a，对任意x0成立⇔g(a)－11a，即lna1，从而得0ae.(1)先求出原函数f(x)，再求得g(x)，然后利用导数判断函数的单调性(单调区间)，并求出最小值；(2)作差法比较，构造一个新的函数，利用导数判断函数的单调性，并由单调性判断函数的正负；(3)对任意x＞0成立的恒成立问题转化为函数g(x)的最小值问题．【互动探究】22．(2011年广东)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__处取得极小值．考点3利用导数解决函数中的恒成立问题(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式；(2)讨论函数f(x)的单调性；立，求b的取值范围．例3：已知函数f(x)＝x＋ax＋b(x≠0)，其中a，b∈R.(3)若对于任意的a∈12，2，不等式f(x)≤10在14，1上恒成解析：(1)f′(x)＝1－ax2，由导数的几何意义得f′(2)＝3，于是a＝－8.由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上可得－2＋b＝7，解得b＝9.所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－8x＋9.(2)f′(x)＝1－ax2.当a≤0时，显然f′(x)0(x≠0)．这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上内是增函数．当a0时，令f′(x)＝0，解得x＝±a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－a)－a(－a，0)0(0，a)a(a，＋∞)f′(x)＋0－/－0＋f(x)递增极大值递减/递减极小值递增所以f(x)在(－∞，－a)，(a，＋∞)内是增函数，在(－a，0)，(0，a)内是减函数．(3)由(2)知，f(x)在14，1上的最大值为f14与f(1)的较大者，对于任意的a∈12，2，不等式f(x)≤10在14，1上恒成立，当且仅当f14≤10，f1≤10，即b≤394－4a，b≤9－a对任意的a∈12，2成立．从而得b≤74.所以满足条件的b的取值范围是－∞，74.【互动探究】3．(2011年安徽)设f(x)＝ex1＋ax2，其中a为正实数．(1)当a＝43时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围．解：对f(x)求导得f′(x)＝ex·1＋ax2－2ax1＋ax22.①(1)当a＝43时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝32，x2＝12.结合①可知：x－∞，121212，323232，＋∞f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以，x1＝32是极小值点，x2＝12是极大值点．(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，因此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a0，知0a≤1.思想与方法7．运用分类讨论思想讨论函数的单调性例题：设函数f(x)＝xekx(k≠0)．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增，求k的取值范围．解析：(1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x.(2)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－1k(k≠0)，①若k0，则当x∈－∞，－1k时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x∈－1k，＋∞时，f′(x)0，函数f(x)单调递增．②若k0，则当x∈－∞，－1k时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，当x∈－1k，＋∞时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，(3)由(2)知，若k0，则当且仅当－1k≤－1，即k≤1时，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增．若k0，则当且仅当－1k≥1，即k≥－1时，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增．综上可知，函数f(x)在区间(－1,1)内单调递增时，k的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．1．求函数的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．2．求函数最值的步骤(1)求出f(x)在(a，b)上的极值；(2)求出端点函数值f(a)，f(b)；(3)比较极值和端点值，确定最大值或最小值．1．求函数的单调区间与函数的极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．如果一个函数在给定的定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．2．求函数的最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过与端点处函数值比较后才能下结论．3．“f′(x)0(或f′(x)0)”是“函数f(x)在某区间上为增函数(或减函数)”的充分不必要条件；“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处取得极值”的必要不充分条件．