第四章 第5讲两角和与差的三角函数公式

基础诊断考点突破课堂总结•两角和与差的三角函数公式在三角函数式的化简与求值中的应用城阳二中高三文科数学基础诊断考点突破课堂总结复习导学1.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及其逆用与变形；2.能运用上述公式进行三角函数式的化简与求值，进行简单的恒等变换基础诊断考点突破课堂总结知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝___________________.cos(α∓β)＝____________________.tan(α±β)＝_____________.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝__________.cos2α＝___________＝___________＝____________.tan2α＝________.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α基础诊断考点突破课堂总结3.有关公式的逆用、变形等(1)tanα±tanβ＝___________________.(2)cos2α＝__________，sin2α＝_________.(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.tan(α±β)(1∓tanαtanβ)1＋cos2α21－cos2α24.“辅助角公式”：函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝ba或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)其中tanφ＝ab.基础诊断考点突破课堂总结诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()(4)存在实数α，使tan2α＝2tanα.()解析(3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.答案(1)√(2)√(3)×(4)√基础诊断考点突破课堂总结2.若tanθ＝－13，则cos2θ＝()A.－45B.－15C.15D.45解析cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝45.答案D基础诊断考点突破课堂总结3.若tanα＝13，tan(α＋β)＝12，则tanβ等于()A.17B.16C.57D.56解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tanα1＋tan（α＋β）·tanα＝12－131＋12×13＝17，故选A.答案A基础诊断考点突破课堂总结4.已知sinα＋cosα＝13，则sin2π4－α＝()A.118B.1718C.89D.29解析由sinα＋cosα＝13两边平方得1＋sin2α＝19，解得sin2α＝－89，所以sin2π4－α＝1－cosπ2－2α2＝1－sin2α2＝1＋892＝1718，故选B.答案B基础诊断考点突破课堂总结5.sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝________.解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.答案22基础诊断考点突破课堂总结考点一三角函数式的化简【例1】(1)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝()A.sin(α＋2β)B.sinαC.cos(α＋2β)D.cosα(2)化简：（1＋sinα＋cosα）·cosα2－sinα22＋2cosα(0απ)＝________.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.(2)原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2·cosα2－sinα24cos2α2＝cosα2cos2α2－sin2α2cosα2＝cosα2cosαcosα2因为0απ，所以0α2π2，所以cosα20，所以原式＝cosα.答案(1)D(2)cosα基础诊断考点突破课堂总结规律方法三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看“角”：看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式（负化正，大化小；互余角；互补角；“变角”）二看“名”：看函数名称之间的差异，确定使用的公式，（切化弦）三看“结构”：看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________.(2)化简：2cos4α－2cos2α＋122tanπ4－αsin2π4＋α＝________.解析(1)原式＝4cos24＋2（sin4－cos4）2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，因为54π432π，所以cos40，且sin4cos4，所以原式＝－2cos4－2(sin4－cos4)＝－2sin4.基础诊断考点突破课堂总结(2)原式＝12（4cos4α－4cos2α＋1）2×sinπ4－αcosπ4－α·cos2π4－α＝（2cos2α－1）24sinπ4－αcosπ4－α＝cos22α2sinπ2－2α＝cos22α2cos2α＝12cos2α.答案(1)－2sin4(2)12cos2α基础诊断考点突破课堂总结考点二三角函数式的求值【例2】(1)sin50°(1＋3tan10°)＝________.(2)已知cosπ4＋α＝35，17π12α7π4，则sin2α＋2sin2α1－tanα的值为________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________.基础诊断考点突破课堂总结(2)sin2α＋2sin2α1－tanα＝2sinαcosα＋2sin2α1－sinαcosα＝2sinαcosα（cosα＋sinα）cosα－sinα＝sin2α1＋tanα1－tanα＝sin2α·tanπ4＋α.由17π12α7π4得5π3α＋π42π，又cosπ4＋α＝35，所以sinπ4＋α＝－45，tanπ4＋α＝－43.cosα＝cosπ4＋α－π4＝－210，sinα＝－7210，sin2α＝725.所以sin2α＋2sin2α1－tanα＝－2875.基础诊断考点突破课堂总结(3)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ＝12－171＋12×17＝130，又α∈(0，π)，基础诊断考点突破课堂总结∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.答案(1)6(2)－2875(3)－3π4基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好.基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)4cos50°－tan40°＝()A.2B.2＋32C.3D.22－1(2)已知sinα＋π3＋sinα＝－435，－π2α0，则cosα的值为________.(3)已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314(0βαπ2)，则tan2α＝________，β＝________.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)原式＝4sin40°－sin40°cos40°＝4cos40°sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝2sin（120°－40°）－sin40°cos40°＝3cos40°＋sin40°－sin40°cos40°＝3cos40°cos40°＝3，故选C.基础诊断考点突破课堂总结(2)由sinα＋π3＋sinα＝－435，得32sinα＋32cosα＝－435，sinα＋π6＝－45.又－π2α0，所以－π3α＋π6π6，于是cosα＋π6＝35.所以cosα＝cosα＋π6－π6＝33－410.基础诊断考点突破课堂总结(3)∵cosα＝17，0απ2，∴sinα＝437，tanα＝43，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－48＝－8347.∵0βαπ2，∴0α－βπ2，∴sin(α－β)＝3314，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π3.答案(1)C(2)33－410(3)－8347π3基础诊断考点突破课堂总结[思想方法]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.基础诊断考点突破课堂总结[易错防范]1.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2.在(0，π)范围内，sinα＝22所对应的角α不是唯一的.3.在三角求值时，往往要借助角的范围求值.