第四章 第八节 正弦定理和余弦定理的应用举例

天天向上第四章三角函数、解三角形第八节正弦定理和余弦定理的应用举例教材回顾夯实基础01典例引领考点突破02课时作业分层演练03返回导航上一页下一页1教材回顾夯实基础返回导航上一页下一页[知识梳理]实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是________________仰角[0°，360°)返回导航上一页下一页术语名称术语意义图形表示方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：①北偏东m°；②南偏西n°：图①图②坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i，则i＝＝________坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比hltanα返回导航上一页下一页[基础诊断]1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)东北方向就是北偏东45°的方向．()(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，π2.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()解析：(2)α＝β.(3)俯角是视线与水平线所构成的角．答案：(1)√(2)×(3)×(4)√返回导航上一页下一页2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°返回导航上一页下一页解析：如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°，故选B.答案：B返回导航上一页下一页3．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD.2522m返回导航上一页下一页解析：∵∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，∴∠B＝30°.由正弦定理，得AB＝AC·sin∠ACBsinB＝50×2212＝502(m)，故选A.答案：A返回导航上一页下一页4．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm返回导航上一页下一页解析：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，故AB＝3a，故选B.答案：B返回导航上一页下一页5．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB等于()A.a2B.3a2C.3aD.3a3返回导航上一页下一页解析：因为∠D＝30°，∠ACB＝60°，所以∠CAD＝30°，故CA＝CD＝a，所以AB＝asin60°＝3a2，故选B.答案：B返回导航上一页下一页2典例引领考点突破返回导航上一页下一页考点1测量距离问题【例1】如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为______km.返回导航上一页下一页解析：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64.返回导航上一页下一页在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝34＋38－2×32×64×22＝38，∴AB＝64km.∴A，B两点间的距离为64km.答案：64返回导航上一页下一页规律方法求距离问题的解题策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．返回导航上一页下一页跟踪训练1如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.返回导航上一页下一页解析：∵∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，∴∠ABC＝180°－75°－45°＝60°.由正弦定理得，ABsin∠ACB＝ACsin∠ABC，∴AB＝AC·sin∠ABCsin∠ABC＝60×sin45°sin60°＝206(m)．即A，B两点间的距离为206m.答案：206返回导航上一页下一页考点2测量高度问题【例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝______m.返回导航上一页下一页解析：依题意，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°.在△ABC中，由∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，得∠ACB＝45°.因为AB＝600m，所以由正弦定理可得600sin45°＝BCsin30°，即BC＝3002m.在Rt△BCD中，因为∠CBD＝30°，BC＝3002m，所以tan30°＝CDBC＝CD3002，所以CD＝1006m.答案：1006返回导航上一页下一页规律方法求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．返回导航上一页下一页跟踪训练2如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.返回导航上一页下一页解析：在Rt△ABC中，因为∠CAB＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100m，所以AC＝1002m.在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，由正弦定理得，ACsin45°＝AMsin60°，因此AM＝1003m.在Rt△MNA中，AM＝1003m，∠MAN＝60°，由MNAM＝sin60°得MN＝1003×32＝150(m)．故山高MN是150m.答案：150返回导航上一页下一页考点3测量角度问题【例3】在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(3－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船奉命以103nmile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？返回导航上一页下一页解：设缉私船用th在D处追上走私船，如图，则CD＝103t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2·cos120°＝6，∴BC＝6，在△ABC中，由正弦定理，得ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，∴sin∠ABC＝ACBC·sin∠BAC＝26·32＝22.返回导航上一页下一页∴∠ABC＝45°，∴BC是东西方向．∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，∴在△BCD中，由正弦定理，得BDsin∠BCD＝CDsin∠CBD∴sin∠BCD＝BD·sin∠CBDCD＝10tsin120°103t＝12，∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．返回导航上一页下一页规律方法测量角度问题的解题策略(1)首先应明确方位角或方向角的含义．(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．返回导航上一页下一页跟踪训练3如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于()A.217B.2114C.32114D.2128返回导航上一页下一页解析：如题图所示，在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，故BC＝207(海里)．由正弦定理，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝277.故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114，故选B.答案：B返回导航上一页下一页3课时作业分层演练谢谢您的观看与聆听