逻辑函数的化简

1.4逻辑函数的化简1.4.2逻辑函数的公式化简法1、并项法逻辑函数的公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。BCCBCBBCCBBCAACBBCAABCY)()(1ABCBCABCAABCCBAABCCABAABCY)()(2若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。运用摩根定律运用分配律运用分配律2、吸收法BAFEBCDABAY)(1BABCDBADABADBCDABADCDBAY)()(2如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。运用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的变量。CABCABABCBAABCBCAABY)(DCBADBACBADBACBADBACCBADCBDCACBAY)()(如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。３、配项法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAY)()1()1()()(（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCY)()()(４、消去冗余项法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，将冗余项ＢＣ消去。DCACBAADEDCACBADCADEACBAY)(1CBABFGDEACCBABY)(21.4.3逻辑函数的图形化简法1、卡诺图的构成逻辑函数的图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。将逻辑函数真值表中的最小项重新排列成矩阵形式，并且使矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列，这样构成的图形就是卡诺图。卡诺图的特点是任意两个相邻的最小项在图中也是相邻的。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。AB010m0m21m1m3ABC000111100m0m2m6m41m1m3m7m52变量卡诺图3变量卡诺图每个2变量的最小项有两个最小项与它相邻每个3变量的最小项有3个最小项与它相邻ABCD0001111000m0m4m12m801m1m5m13m911m3m7m15m1110m2m6m14m104变量卡诺图每个4变量的最小项有4个最小项与它相邻最左列的最小项与最右列的相应最小项也是相邻的最上面一行的最小项与最下面一行的相应最小项也是相邻的两个相邻最小项可以合并消去一个变量BACCBACBACBA)(DCADCBADCAB逻辑函数化简的实质就是相邻最小项的合并2、逻辑函数在卡诺图中的表示（1）逻辑函数是以真值表或者以最小项表达式给出：在卡诺图上那些与给定逻辑函数的最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。ABCD00011110000100011000111111100110)15,14,11,7,6,4,3,1(),,,(mDCBAYm1m3m4m6m7m11m14m15（2）逻辑函数以一般的逻辑表达式给出：先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在卡诺图上与每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的公因子）相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。))((CBDAYCBDAYABCD00011110001100010000111001101101变换为与或表达式ＡＤ的公因子ＢＣ的公因子说明：如果求得了函数Ｙ的反函数Ｙ，则对Ｙ中所包含的各个最小项，在卡诺图相应方格内填入0，其余方格内填入1。3、卡诺图的性质ABCD00011110000100010001110001100100（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。ABC000111100100110110CBACBAABCBCADBCADCBACDBADCBACBBCDBADBAABCD00011110000100011111110110100100（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。ABC000111100111110110CCBAABBABACBACABCBACBA)(BBACCACACAABCCABBCACBA)(BADCABCD00011110001001010110110110101001ABCD00011110000110011001111001100110ＡＤＢＤＢＤＢＤABCD00011110000000011111111111100000ABCD00011110001001011001111001101001（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。ＤＢ小结：相邻最小项的数目必须为个才能合并为一项，并消去个变量。包含的最小项数目越多，即由这些最小项所形成的圈越大，消去的变量也就越多，从而所得到的逻辑表达式就越简单。这就是利用卡诺图化简逻辑函数的基本原理。4、图形法化简的基本步骤逻辑表达式或真值表卡诺图)15,13,12,11,8,7,5,3(),,,(mDCBAYABCD0001111000001101011011111110000011合并最小项①圈越大越好，但每个圈中标１的方格数目必须为个。②同一个方格可同时画在几个圈内，但每个圈都要有新的方格，否则它就是多余的。③不能漏掉任何一个标１的方格。i2最简与或表达式ABCD00011110000011010110111111100000DCACDBDDCBAY),,,(ＢＤＣＤＡＣＤ冗余项2233将代表每个圈的乘积项相加ABCD00011110ABCD00011110001101001101010111010111110011110011100000100000两点说明：①在有些情况下，最小项的圈法不只一种，得到的各个乘积项组成的与或表达式各不相同，哪个是最简的，要经过比较、检查才能确定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最简ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最简ABCD00011110ABCD00011110001100001100011110011110110010110010101010101010②在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ1.4.4含随意项的逻辑函数的化简随意项：函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为随意项，也叫做约束项或无关项。1、含随意项的逻辑函数例如：判断一位十进制数是否为偶数。不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现不会出现说明×111100111×111010110×110100101×110010100×101100011×10101001001001000011100010000YABCDYABCDABCD000111100011×10100×01100××1011××输入变量A，B，C，D取值为0000～1001时，逻辑函数Y有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0。)8,6,4,2,0(),,,(mDCBAYA，B，C，D取值为1010～1111的情况不会出现或不允许出现，对应的最小项属于随意项。用符号“φ”、“×”或“d”表示。随意项之和构成的逻辑表达式叫做随意条件或约束条件，用一个值恒为0的条件等式表示。0)15,14,13,12,11,10(d含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：)15,14,13,12,11,10()8,6,4,2,0(),,,(dmDCBAF2、含随意项的逻辑函数的化简在逻辑函数的化简中，充分利用随意项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，随意项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果随意项对化简有利，则取1；如果随意项对化简不利，则取0。ABCD000111100011×10100×01100××1011××不利用随意项的化简结果为：DCADAY利用随意项的化简结果为：DY3、变量互相排斥的逻辑函数的化简在一组变量中，如果只要有一个变量取值为1，则其它变量的值就一定为0，具有这种制约关系的变量叫做互相排斥的变量。变量互相排斥的逻辑函数也是一种含有随意项的逻辑函数。ABCY000001010011100101110111011×1×××ABC00011110001×111×××YABC111简化真值表CBAY