第四章 函数的连续性

1第四章函数的连续性§1连续性概念（第73-74页）1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）xxf1)(；（2）||)(xxf．证明（1）f的定义域为),0()0,(，对其定义域上任一点00x，有)(11lim)(lim0000xfxxxfxxxx，故f在0x连续，由0x的任意性知，f在其定义域内连续．（2）f的定义域为),(．对其定义域上任一点0x，0，取，当||0xx时，有||||||||00xxxx，故||||lim00xxxx，从而f在0x连续，由0x的任意性知，f在其定义域内连续．2．指出下列函数的间断点并说明其类型：（1）xxxf1)(；（2）||sin)(xxxf；（3）|]cos[|)(xxf；（4）||sgn)(xxf；（5）)sgn(cos)(xxf；（6）为无理数为有理数xxxxxf)(；（7）.1,11sin)1(,17,,7,71)(xxxxxxxxf解（1）f在0x处间断，因为)1(lim0xxx不存在，所以0x是f的第二类间断点．（2）f在0x间断，因为1sinlim||sinlim00xxxxxx，1sinlim||sinlim00xxxxxx，故0x是f的跳跃间断点．2（3）因为nxnxxxf10|]cos[|)(，所以f在),2,1,0(nnx间断．由于0|]cos[|lim0xx，从而),2,1,0(nnx是f的可去间断点．（4）因为0001||sgn)(xxxxf，所以f在0x间断．由于1||sgnlim0xx，从而0x是f的可去间断点．（5）因为2322212022221)sgn(cos)(nxnnxnxnxxf，所以f在)2,1,0(22nnx间断．由于1)sgn(coslim22xnx，1)sgn(coslim22xnx，1)sgn(coslim22xnx，1)sgn(coslim22xnx，故)2,1,0(22nnx是f的跳跃间断点．（6）f在0x间断．当00x时，极限)(lim0xfxx不存在，故0x是f的第二类间断点．（7）因为71lim)(lim77xxfxx，不存在，故7x是f的第二类间断点．又1lim)(lim11xxfxx，011sin)1(lim)(lim11xxxfxx，故1x是f的跳跃间断点．3．延拓下列函数，使其在R上连续：（1）28)(3xxxf；（2）2cos1)(xxxf；（3）xxxf1cos)(．解（1）因为f在2x无定义，且12)42(lim28lim2232xxxxxx，于是，延拓f为函数3212228)(3xxxxxF，F在R上连续．（2）f在0x无定义，21cos1lim20xxx，于是，延拓f为函数0210cos1)(2xxxxxF，F在R上连续．（3）f在0x无定义，01coslim0xxx，于是延拓f为函数0001cos)(xxxxxF，F在R上连续．4．证明：若f在0x点连续，则||f与2f也在点0x连续．又问：若||f与2f在点0x连续，那么f在0x点是否必连续？证明设f在点0x续，即0，0，使得当||0xx时，有|)()(|0xfxf．这时，有|)()(|||)(|)(||00xfxfxfxf，故||f也在点0x连续．因为f在0x点连续，于是f在0x极限存在，从而由极限的局部有界性知，存在0M及01，使得当10||xx时，有Mxf|)(|．现在取},min{12，当20||xx时，有|)()(||)()(||)()(|00022xfxfxfxfxfxfMxfxfxfxf2|)()(||))(||)((|00．所以2f在点0x连续．若||f与2f在点0x连续，f在0x点不一定连续．例如，设0101)(xxxf．4则1||2ff，在点0x处连续，但f在0x不连续．5．设当0x时)()(xgxf，而)0()0(gf．证明：f与g两者中至多有一个在0x连续．证明因为)()(xgxf，所以)(lim)(lim00xgxfxx，假设f与g两个都在0x连续，则)0()(lim)(lim)0(00gxgxffxx．与题设)0()0(gf矛盾，所以f与g两者中至多有一个在0x连续．6．设f为区间I上的单调函数．证明：若Ix0为f的间断点，则0x必是f的第一类间断点．证明由本章定理3．10及第三章第3节习题5，知)0(0xf和)0(0xf都存在，所以0x是f的第一类间断点．7．设函数f只有可去间断点，定义)(lim)(yfxgxy．证明g为连续函数．证明任取函数f定义域内的一点0x，对0，由)()(lim00xgxfxx知，0，当);(0xUx时，有2)()(0xgxf．而由)(lim)(yfxgxy知，01，使);();(01xUxU，且02，当);(2xUx时，有2)()(xgyf．取21,min，则当);();(0xUxUy，有2)()(0xgyf．故有)()()()()()(00xgyfyfxgxgxg22)()()()(00xgyfxgyf，即)()(lim00xgxgxx，由0x的任意性知，g为连续函数．8．设f为R上的单调函数，定义)0()(xfxg．5证明g在R上每一点右连续．证明不妨设f为R上的单调增函数，任取0xR，对0，由)(lim0xfxx存在知，0，当00xxx时，有)0()(0xfxf．由f为R上的单调增函数，知对任意的xR，)0()(xfxf，且对满足条件00xxxx的x，有)()0()(xfxfxf，即有)()0()()0()(00xfxfxfxfxf，从而)0()()0()0()()(000xfxfxfxfxgxg，故)()(lim00xgxgxx，g在0x上右连续．9．举出定义在[0,1]上分别符合下述要求的函数：（1）只在21，31和41三点不连续的函数；（2）只在21，31和41三点连续的函数；（3）只在n1（,2,1n）上间断的函数；（4）只在0x右连续，而在其他点都不连续的函数．解（1）函数)41)(31)(21(1)(xxxxf只在21，31和41三点不连续．（2）令)()41)(31)(21()(xDxxxxf，其中)(xD为Dirichlet函数)(xD，则)()41)(31)(21()(xDxxxxf，只在21，31和41三点连续．（3）函数0101)(xxxxxf，只在n1（,2,1n）上间断．（4）设)(xD为Dirichlet函数，则函数)()(xDxxf只在0x右连续．6§2连续函数的性质（第80-82页）1．讨论复合函数gf与fg的连续性，设（1）21)(,sgn)(xxgxxf；（2）xxxgxxf)1()(,sgn)(2．解（1）因为1)1sgn()(2xxgf，所以，gf处处连续．又0102)(xxxfg，所以，fg除0x外，处处连续，0x是跳跃间断点．（2）),1(U)0,1(11,001)-,U(-)1,0(1)1sgn()(2xxxxxxgf，故1,0,1x是gf的跳跃间断点．0)(xfg，处处连续．2．设f，g在点0x连续，证明：（1）若)()(00xgxf，则存在);(0xU，使在其内有)()(xgxf；（2）若在某)(0xU内有)()(xgxf，则)()(00xgxf．证明因为f，g在点0x连续，故)()(lim00xfxfxx，)()(lim00xgxgxx．（1）由于)()(00xgxf，故由第三章第2节习题7（2），知存在);(00xU，使在其内有)()(xgxf．从而在);(0xU内，有)()(xgxf．（2）设在),(0xU内，有)()(xgxf．因为)()(lim00xfxfxx，)()(lim00xgxgxx，所以0，分别存在0,021，使得当10||xx时，有)()(0xgxg，当20||xx时有)()(0xfxf．令},,min{21，则当||0xx时，有)()()()(00xfxfxgxg，从而2)()(00xfxg．由的任意性，可得)()(00xfxg．73．设f，g在区间I上连续，记)}(),(max{)(xgxfxF，)}(),(min{)(xgxfxG证明F和G也都在I上连续．证明由第一章总练习题1，有|))()(|)()((21)}(),(max{)(xgxfxgxfxgxfxF，|))()(|)()((21)}(),(min{)(xgxfxgxfxgxfxG．因为f，g在区间I上连续，所以)()(xgxf在I上连续，再由第四章第1节习题4，知|)()(|xgxf在I上连续，从而由连续函数的四则运算定理4.4，F和G都在I上连续．4．设f为R上连续函数，常数0c，记cxfccxfxfcxfcxF)(|)(|)()()(若若若，证明F在R上连续．证明因为)}}(,min{,max{)(xfccxF，于是由第3题，知F在R上连续．5．设xxfsin)(，00)(xxxxxg，证明：复合函数gf在0x连续，但g在0x不连续．证明xxxxxxgxgfsin0)sin(0)sin())(sin())((，处处连续．因为)(lim)(lim00xxgxx，)(lim)(lim00xxgxx，g在0x的左、右极限不相等，故g在0x的极限不存在，从而g在0x不连续．6．设f在),[a上连续，且)(limxfx存在，证明：f在),[a上有界．又问f在),[a上必有最大值或最小值吗？证明因为)(limxfx存在，所以由函数极限的局部有界性知，存在aN，使得f在),[N上有界．又因为f在],[Na上连续，于是由闭区间上连续函数的有界性知，f在],[Na上有界，从而f在),[a上有界．f在),[a上不一定有最大值或最小值．例如函数xxf1)(在),1[上连续，但没有最小值；函数xxf11)(在),1[上连续，但没有最大值．87．若对任何充分小的0，f在],[ba上连续，能否由此推出f在),(ba内连续．证明能推出f在),(ba内连续．证明如下：),(0bax，取},min{2100xbax，于是],[0bax，由题设，f在],[ba上连续，从而在0x连续．由0x的任意性知，f在),(ba内连续．8．求极限：（1）xxxtan)(lim4；（2）1121lim21xxxxx．解（1）由函数的连续性，434tan)4(tan)(lim4xxx．（2）由函数的连续