人教版-高中数学选修4-5 柯西不等式与排序不等式

一、二维形式的柯西不等式.,,,,,)(1等号成立时当且仅当则实数都是若二维形式的柯西不等式定理bcaddcba222222222222222)()(bd)(ac))((:bdacbcadcbdadbcadcba证明bdacdcba2222)1(bdacdcba2222)2(二维形式的柯西不等式的变式:22222)())((bdacdcba.,,,.,,)(2等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当则是两个向量设柯西不等式的向量形式定理kk2332244)())((,,1babababa证明为实数已知例的最大值求函数例xxy2101534111,ba,,2baRba求证设例复习:.,),,,()())(()1(22222等号成立时当且仅当二维形式的柯西不等式bcadRdcbabdacdcba.,,,.(4)等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当柯西不等式的向量形式kkbdacdcba2222)2(bdacdcba2222)3(221221222221212211)()(R,y,x,y,)(3yyxxyxyxx那么设二维形式的三角不等式定理2212212221212221212222212121212222212121212222222221212121222222121)()(x22x)(2x2x2x)(:yyxyyyyxxxyxyyxxyyxyyxxyyxyxyxyyxyx证明22122122222121)()(yyxxyxyx22122122222121)()(yyxxyxyx二维形式的三角不等式221221221222222212121)()()(zzyyxxzyxzyx三维形式的三角不等式22222112222122221)()()(nnnnyxyxyxyyyxxx一般形式的三角不等式补充例题:.1,yb,,,,1的最小值求且已知例yxxaRbayx2min22222)()(.,)()()(,1,,,,:bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx时取等号即当且仅当解变式引申:.,94,13222并求最小值点的最小值求若yxyx)61,41(,2194614113232.32,1312.2194,1)32()11)(94(:222222222最小值点为的最小值为得由时取等号即当且仅当由柯西不等式解yxyxyxyxyxyxyxyxyx5,5.10,10.102,102.52,52-A.)(,10,,.122DCBbabaRba的取值范围是则且若补充练习2536.3625.56.65A.)(32,1.222DCByxyx的最小值是那么已知______1212.3的最大值为函数xxy______2,623,.422值是的最大则满足设实数yxPyxyx______)1()1(,1.522的最小值是则若bbaabaAB311225小结:.,),,,()())(()1(22222等号成立时当且仅当二维形式的柯西不等式bcadRdcbabdacdcba.,,,.(4)等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当柯西不等式的向量形式kkbdacdcba2222)2(bdacdcba2222)3(22122122222121)()((5)yyxxyxyx二维形式的三角不等式221221232232231231)()(x)()()()()6(yyxyyxxyyxx.,:1221等号成立时当且仅当的柯西不等式化简后得二维形式将平面向量的坐标代入能得到从平面向量的几何背景baba，，2221122212221)()()(bababbaa化简后得将空间向量的坐标代入也能得到从空间向量的几何背景类似地，,,2332211232221232221)()()(babababbbaaa.)3,2,1(,,0,,等号成立时使得或存在一个数即共线时当且仅当，ikbakii猜想柯西不等式的一般形式222112222122221)())((bnnnbabababbbaaa，aaaAn22221设，bbbCn22221nnbababaB22112BAC则不等式就是分析：)()(2)()(222212211222221nnnnbbbxbababaxaaaxf构造二次函数0)()()()(2222211nnbxabxabxaxf又0)()(4)(4,0)(222212222122211nnnnbbbaaabababaxf即的判别式二次函数。等号成立时使得或存在一个数当且仅当则是实数设一般形式的柯西不等式定理,),,2,1(,),,2,1(0,,,,,,,,,,)(321321nikbaknibbbbbaaaaiiinn222112222122221)())((bnnnbabababbbaaa2222122121)(1,,,,1nnnaaaaaanaaa求证都是实数已知例22122221222)111())(111(:nnaaaaaa证明22122221)()(nnaaaaaan22221221)(1nnaaaaaandacdbcabdcbadcba2222,,,,2证明是不全相等的正数已知例dacdbcabdcbdacdbcabdcbaaddccbbadcbadacdbcabadcbdca2222222222222222222a)()(,,,,)())((:即不成立是不全相等的正数证明的最小值求已知例222,1323zyxzyx141143,71,1413211411)32()321)((:2222222222222取最小值时即当且仅当证明zyxzyxzyxzyxzyxzyx1111x1x:1,xx,Rx,x,6.412222121n21n21nxxxxxxPnn求证且设1)()1x11111()x1x11()11x(1)111()1(:2212n222111n2n222121212222121nnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn证明1111x1x2222121nxxxxnn.,16a,8,,,,122222的取值范围求满足已知实数例eedcbedcbaedcba5160,01651664464,)8()16(4d)cb(a))(1111()4(a:22222222222222eeeeeeeedcbadcb故即即解补充例题.,21,31,61,914136)321()941)((941:2222等号成立时即当且仅当用柯西不等式证法一zyxzyxzzyyxxzyxzyxzyx36941,1,,,2zyxzyxRzyx求证且已知例36941,1,,,2zyxzyxRzyx求证且已知例.,21,31,61,3,236126414)94()9()4(14)(9)(4)(1941:等号成立时即当且仅当代入法证法二zyxxzxyzyyzzxxzyxxyzyxzzyxyzyxxzyx补充练习3100)1()1()1(:,1,,,.2222ccbbaacbacba求证且为正数设222222236)sin1sin1sin1)((:,,,,,1RCBAcbaRcbaABC求证外接圆半径为设其各边长为中在2221121413121174:,2.3nnn试证的正整数是不小于若23)(1)(1)(1:,1,,,.4333baccabcbaabcRcba试证明且满足设的和叫做数组则的任何一个排列是数组设),,,(),,,(,,,,,,,)1(21212121nnnnbbbaaabbbcccnncacacaS2211乱序和称为所得的和按相反顺序相乘和将数组),,,(),,,()2(2121nnbbbaaa1231211babababaSnnnn反序和称为所得的和按相同顺序相乘和将数组),,,(),,,()3(2121nnbbbaaa3322112nnbabababaS顺序和21SSS即顺序和乱序和反序和.,,,,,,,,c,,)(212122112211112121212121反序和等于顺序和时或当且仅当那么的任一排列是为两组实数设理排序不等式或称排序原定理nnnnnnnnnnnnnbbbaaabababacacacababababbbccbbbaaa??,10,,,)10,,2,1(,101多少这个最少的总时间等于少使他们等候的总时间最人的顺序应如何安排问只有一个水龙头时相同各不假定这些分个人的水桶需要设水龙头注满第人各拿一只水桶去接水有例iittii2232212132131211,,,,2naaaannaaann求证个互不相同的正整数是设例补充例题101010121212,,,.1cbaabccabbcaRcba试证设23:,.2cbacCbBaAABC试证中在