第八章：圆轴扭转

18.2扭矩、扭矩图8.1扭转的概念与实例8.3圆轴扭转时的应力与变形8.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件8.5静不定问题和弹塑性问题第八章圆轴的扭转返回主目录2工程构件分类:板块体杆杆的基本变形:轴向拉压弯曲xyz扭转3研究对象：圆截面直杆受力特点：作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程:SMx=0变形特征：相对扭转角fAB圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。xyz0M0M变形前变形后fAB汽车转向轴传动轴8.1扭转的概念与实例返回主目录4扭矩：T是横截面上的内力偶矩。内力—由截面法求得。取左边部分平衡由平衡方程：0MTM0M0假想切面外力偶M0内力偶T8.2扭矩与扭矩图返回主目录5由平衡方程：TMT0取右边部分T和T是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负。M0M0假想切面取左边部分平衡外力偶M0扭矩T扭矩外力偶平衡TM06扭矩的符号规定：按右手螺旋法则确定扭矩的矢量方向，扭矩矢量的指向与截面的外法线方向一致者为正，反之为负。负M0TM0T正7以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。2010画扭矩图：mkN20mkN10mkN10xoCABmkNT/ABCmkN10ABTmkNTAB10AB段：mkN20BCTmkNMBC20BC段：85kN5kN3kNFN图+-5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN+向简捷画法：2010mkNT/ABCFN图（轴力）按右手法确定+向mkN20mkN10mkN10xoCABT图9解：由功率－转速关系计算外力偶矩例某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功率为NA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为NB=NC=120kW，ND=160kW。试作轴的扭矩图。nNMAA55.9mkN46.570040055.9nNMMBCB55.9mkN64.170012055.9nNMDD55.9mkN18.270016055.9BMBMCCMAMDAD10最大扭矩在AB段，且mNT3280mkNMmkNMMmkNMDCBA18.264.146.5求各截面内力：BC段mkNT-64.11CA段mkNT-28.32AD段mkNT18.23BMBMCCMAMDADT1BMBBMBMCCT2MDDT3ACBDT/kN.m1.643.282.18T图11mNMmNMMmNMDCBA218016405460简捷画法：BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.mT图按右手法确定+向1.6412讨论：试作扭矩图2010T图按右手法确定+向xoCAB40kN.mD20kN.m10kN.m10kN.mmkNT/ABCD20xoCAB40kN.mD10kN.m10kN.mAM求反力偶：mkNMA202010T图按右手法确定+向mkNT/ABCD20返回主目录13变形体静力学的基本研究思路：1.变形几何条件刚性平面假设：变形前后，扭转圆轴各个横截面仍然保持为平面，二平面间距离不变，其半径仍然保持为直线且半径大小不变。变形前变形后8.3.1圆轴扭转时的应力与变形返回主目录142.物理关系—材料的应力-应变关系在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G是t-g曲线的斜率，如图，称为剪切弹性模量。gtG--(2)1GOtg1Gtys材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。153.力的平衡关系最后得到：tITdxdG--(4)I称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。tTottmaxtmax在圆轴表面处，且TWTITr//maxtW=I/r，称为抗扭截面模量。T求I，WT?16圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量dDo空心圆轴实心圆轴Do)1(3244-DI极惯性矩)1(3244-DI抗扭截面模量)1(1643-DWT=d/D=0324DI163DWT17结论：1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂直与半径，指向由扭矩的转向确定。2）截面任一处截面外圆周处（表面）t=T/Itmax=T/WTdDo空心圆轴实心圆轴DoTttmaxTttmax18讨论：2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截面尺寸不同，其扭矩图相同否?若二轴材料不同、截面尺寸相同，各段应力是否相同？变形是否相同？相同相同不同oToToToT198.3.4圆轴的扭转变形单位扭转角为：GITdxd//相对扭转角：B截面相对于A截面的扭转角。若AB=L，则ABGI称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。TABLBAg若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则T/GI=const.,故有：GILTAB/20例2.空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.mMC=100N.m，材料G=80Gpa，试求（1）轴内的最大剪应力；（2）C截面相对A截面的扭转角。解:1)画扭矩图。2)计算各段应力:]1[161311111maxDdDTWTT-tAB段：])24/18(1[241610150433-MPa8.80N-mm-Mpa单位制f22f18f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m212)计算各段应力:]1[162322222maxDdDTWTT-tBC段：])22/18(1[221610100433-MPa7.86故tmax=86.7Mpaf22f18f2410001000ABCMBMCMAABC150100T/N.m3)计算扭转角ACradGIlTGIlTBCBCBCABABABAC183.0+N-mm-Mpa单位制22拉压[t]=0.5~0.6[s](钢材，延性)[t]与[s]之关系：[t]=0.8~1.0[s](铸铁，脆性)1.强度条件][/maxssAFN][/maxttTWT8.4圆轴扭转的强度条件和刚度条件返回主目录23轴AB间的相对扭转角为：AB=TL/GI扭转圆轴必须满足强度条件，以保证不破坏；另一方面，轴类零件若变形过大，则不能正常工作，即还须满足刚度条件。单位长度的扭转角为：q=AB/L=T/GI扭转刚度条件则为：qmax[q]---许用扭转角机械设计手册建议：[q]=0.25~0.5/m;精度高的轴；[q]=0.5~1.0/m;一般传动轴。2.刚度条件单位统一为/m，则有：（弧度转换为角度）][180maxqqoGIT243.扭转圆轴的设计二者均须满足扭转圆轴的设计计算：强度、刚度校核；确定许用载荷（扭矩）；设计轴的几何尺寸。强度条件：][/maxttTWT刚度条件：][180maxqqoGIT极惯性矩324DI抗扭截面模量163DWT25解:1)画扭矩图。例4.实心圆轴如图，已知MB=MC=1.64kN.m，MD=2.18kN.m材料G=80GPa，[t]=40MPa，[q]=1/m，试设计轴的直径。最大扭矩在AB段，且mNT3280BMBMCCMAMDAD3.282.18ACBDT/kN.m1.642)按强度设计，有：][16/3maxttDTWTT3max][16tTDmm75361040328016)(10753m-N-m-pa单位制262)按刚度设计，有：同时满足强度与刚度要求，则应取取大者mmD75][18032/1804maxqqooDGTGIT则有：42max][18032qGMD°42911080180328032N-m-pa单位制)(109.693m-mm7027讨论：若取=0.5，试设计空心圆轴尺寸。=76.4mm34max])[1(16t-TD3641040)5.01(328016-按刚度设计，有：][18032/)1(44maxqq-oDGT则有：取D=78mm=71mm44291)1(1080180328032-D扭矩图不变，按强度设计，有：][maxmaxttTT16/)1(43max-DWT)5.0(1/)1()2/(])2/()2/([2222gg--LDLDD实心轴空心轴重量比：重量减轻25%，尺寸略大一点。28圆轴扭转小结杆的拉压强度设计][maxttTWT][ssAFN][180qqoGIT刚度设计极惯性矩：)1(3244-DI324DI实心轴空心轴抗扭截面模量：)1(1643-DWT163DWT实心轴空心轴29习题：8-5，8-10，8-11再见