第二换元积分法

第二节换元积分法本节内容提要一、第一类换元积分法（凑微分法）二、第二类换元积分法教学目的：使生熟练掌握凑微分法求不定积分、掌握第二类换元积分法中的根式置换法，了解三角置换法求不定积分重点：凑微分法、根式置换法求不定积分难点：凑微分法求不定积分教学方法：启发式教学手段：多媒体课件和面授讲解相结合教学课时：6课时返回第二节换元积分法引例：求解:错在哪里？cos2?xdxcossinxdxxccos2sin2xdxxc一、第一类换元积分法（凑微分法）定理1、若则这种将利用中间变量化为，则可直接（或稍微变形就可）应用基本积分公式求得结果，再将还原成的积分法，称为第一类换元积分法，也叫凑微分法。()()fuduFuc[()]'()()()[()]fxxdxuxfuduFucFxc[()]'()fxxdxu()fuduu()x这里将凑微分成du是难点，理解起来较困难，我们这样处理：dx=故'()xdx'Xduu[(()]'()()'()()'Xdufxxdxuxfuxfudu()[()]FucFxc例1：求解：设u=2xcos2xdx'2Xdududx111cos2cos.cossinsin22222duxdxuuduucxc我们总结出凑微分法求不定积分的情况如下：Ⅰ、被积函数是一个复合函数，与公式作对比，公式中自变量x变成了ax+b的形式，这时设ax+b为中间变量，()()()daxbdaxbdxaxba5(32))xdx'3Xdududxu555661111(32)(32)333618duxdxuuduucxc例2：求解：设则32ux在对上述换元法较熟悉后，可不必写出中间变量，心中明白即可，书写格式如下：解：=55(32)(32)(32)3dxxdxx51(32)(32)3xdx66111(32)(32)3618xcxc132dxx11(32)1ln|32|323222dxdxxcxx例3求解：xedx323xdxsin()tdt12dxx练习：求下列不定积分1、2、3、4、、被积函数是两个函数乘积形式1、被积函数中含有两个多项式，其中一个多项式的次数比另一个多项式的次数高一次，设高一次的多项式为中间变量，目的是约去另一个因式。Ⅱ例1、求解：2xxedx22222222()11()222xxxxdxxedxxeedxecabx例2、求解：=23xxdx23xxdx122222(3)13(3)(3)22dxxxxdxx3221(3)3xc例3、求解2215xdxxx22222(5)21211(5)55215dxxxxdxdxxxxxxxxx2ln|5|xxc例4、求解：121xedxx11112221()111()1xxxxdxedxeedecxxxx例5、求解：cosxdxxcoscos()2cos()2sin12xxdxdxxdxxcxxx练习：求下列不定积分1、2、3、4、5、25(4)xxdx21xdxx3xedxx22cosxdxx2sin(1)xxdx2、被积函数中，其中一部分函数“正好”是另一部分函数的导数这里存在导数的那部分函数为中间变量，目的是约去另一个因式。sinxxeedx()sinsinsin()cosxxxxxxxxxdeeedxeeedeece例1求解2arctan1xdxx2222arctanarctan(arctan)1arctan(arctan)(arctan)11121xxdxdxxdxxcxxx例2求解21lndxxx22211(ln)(ln)(ln)1lnlndxdxxdxxxxxx1lncx例3求解tanxdxsinsin(cos)1tan(cos)coscossincosxxdxxdxdxdxxxxxln|cos|xc例4求解32(arcsin)1dxx3323221(arcsin)(arcsin)(arcsin)1(arcsin)1(arcsin)11dxdxxdxxxxxx212(arcsin)c例5求解例1、(12ln)dxxx1(12ln)111(12ln)ln|12ln|2(12ln)(12ln)212ln2dxdxdxxcxxxxxx例6求解练：求1、2、3、4、5、6、1xxedxe21lndxxxarctan21xedxx2sincosxdxx2tansecxxdx4lnxdxx第一类换元积分法（凑微分法）是一种非常有效的积分法。首先，必须熟悉基本积分公式，对积分公式应广义地理解，如对公式，应理解为，其中u可以是x的任一可微函数；其次，应熟悉微分运算，针对具体的积分要选准某个基本积分公式，凑微分使其变量一致。1ln||xdxxc1ln||uduuc（1）(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)21()2xdxdaxba12()xdxdx211()dxdxx()xxedxde1(ln)dxdxxcos(sin)xdxdxsin(cos)xdxdx2sec(tan)xdxdx21(arctan)1dxdxx21(sin)1dxdarcxX常用的凑微分形式有：adxdaxb例：求sin2xdx解：方法一：方法二：方法三：211sin2sin2sin22cos2222dxxdxxxdxxc2sinsin22sincos2sincossincosdxxdxxxdxxxcx2cossin22sincos2sincoscossindxxdxxxdxxxxcx上例表明，同一个不定积分，选择不同的积分方法，得到的结果形式不同，这是完全正常的，可以用求导验证它们的正确性。使用凑微分法求不定积分，有时还需要先用代数运算、三角变换对被积函数作适当变形才能积分。例1求249dxx22223()111112132.()333349444321()1()1()222213arctan62dxdxdxdxxxxxxc解：练习：求21625dxx例2求：解：21xxedxe21xxedxe221.arctan1()1()xxxxxxxededeeceee练习：①②xxdxee11xdxe例3求：26dxxx21111()6(3)(2)53211(3)1(2)113[](ln|3|ln|2|)ln||53121552dxdxdxxxxxxxdxdxxxxccxxx解：练习：①②22(1)dxxx(2)(3)dxxx例4求：22145xdxxx222222212434545(45)241.3(2)ln|45|3arctan(2)45241(2)xxdxdxxxxxdxxxdxxxxcxxxx解：练习：求211xdxx例5求：2cosxdx21cos2112:cos(cos2)(cos2)22221111(sin2)sin22224xdxxdxdxdxxdxxxxxcxxc解练习：求①②2sin2xdx4secxdx例6求：3sinxdx322233sinsinsinsin(1cos)(1cos)(cos)11(coscos)coscos33xdxxxdxxxdxxdxxxcxxc解：练习：求3cosxdx例7求：23sincosxxdx232222222435sincossincoscossincos.(1sin)(sin)11sincos.(1sin)(sinsin)sinsinsincos35xxdxxxxdxxxxdxdxxxxxxdxxxcx解：练习：求32sincosxxdx例8求：sin4cos3xxdx117sin4cos3(sin7sin)(sin7sin)2271111(cos7cos)cos7cos27142dxxxdxxxdxxxdxxxcxxc解：＝练习：求sin2cos3xxdx练习求①②③④⑤241xdxx22(1)xdxx212xdxx2cos2xdx2123dxxx二、第二类换元积分法定理2：设是单调可微函数，且若则：()xt'()0t(())'()()fttdttc1()(())'()()(())fxdxfttdttcxc下面通过例题说明第二类换元积分的应用。Ⅰ、被积分函数中含有类型--------根式置换法naxb例1：求解：设,则113dxx3tx121121113ttdxdtdtttx12(1)2(ln1)1dtttct2(3ln|13|)xxc23,2xtdxtdt注意：在最后的结果中必须代入,返回到原积分变量.练习：①②3txx1xdxx312dxx返回例2求解：被积函数含、，为了去掉根号，设t=则x=3(1)dxxxx3x6x6t56dxtdt3(1)dxxx522232261166(1)11tttdtdtdttttt216(1)6(arctan)1dtttct666(arctan)xxc练习：求3dxxx例3．求解：设则1xdxe1xet2ln(1)xt221tdxdtt1xdxe221221.211(1)(1)tdtdtdtttttt11()11dttt11ln11xxece1ln1ln1ln||1tttcct11(1)(1)11dtdttt11(1)(1)11dtdttt1、Ⅱ、被积分函数中含有类型--------三角置换法2222xaax、例1求解设则220axdxa22sinxatt22coscosaxatdxatdt222221cos2coscoscos2taxdxatatdtatdtadt2221sin2sin22224aaattcttc22sincos22aatttc22221sinarcsincos1sin1()xxaaaxattttax22222122arcsinaxaaxdxxaxc例2、求解设则220dxaax22tanxat22xa22tan1secatasentdxatdt222secseclnsectansecdxatdttdtttcatax为了返回原积分变量，可由作出辅助三角形如图由图可得其中tanxat221cossecxatat22122lnaxxaadxcax22221lnlnxxaacxxac1lncca空例3、求解设则与前例相同，为了返回原积分变量，由作出辅助三角形如图由图可得：其中220dxaxa