大学应用物理第三章能量守恒定律

广州航海学院返回本章首页第三章能量定理和守恒定律广州航海学院返回本章首页本章内容预备知识1动量定理动量守恒定律2动能定理能量守恒定律3角动量定理角动量守恒定律4广州航海学院返回本章首页知识要点及教学要求A类：动量定理和动量守恒定律；质点和刚体的角动量定理和角动量守恒定律；功和能：保守力做功、势能、变力做功、动能定理、功能原理、机械能守恒定律以及能量转换和守恒定律。B类：刚体转动的功和能之间的关系；碰撞。教学要求掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的力学问题；理解功的概念，能计算直线运动情况下变力的功。理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力和引力势能；掌握质点的动能定理，能正确地用于质点平面运动的力学问题；掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题；广州航海学院返回本章首页掌握刚体绕定轴转动的动能定理。会计算定轴转动刚体的力矩作功。能运用转动动能定理分析、计算简单力学问题；掌握角动量概念、角动量定理和角动量守恒定律，并能用它们分析解决简单的力学问题；了解碰撞的概念，掌握完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的规律。重点：掌握并灵活运用三个运动定理及其守恒定律。三个运动定理及其守恒定律在应用时对所研究对象的划分和选取、守恒定律条件的审核，以及综合性力学问题的分析求解。难点：授课学时：12～16广州航海学院返回本章首页3.1预备知识一、中学物理知识要点1.恒力的功:MFθMabscoscosWFSFS＝或：WFS＝vvg2.功率：平均功率：WPt＝瞬时功率：dWdP==dtdt＝vvvv××FrF3.动量：mPvv4.冲量：tIF二、相关知识数学知识矢量的运算及其分解；多重微分与积分；梯度的概念；物理知识描述圆周运动的物理量及质点作圆周运动时所遵循的规律；右手螺旋法则。广州航海学院返回本章首页3.2.1动量定理动量守恒定律一、质点的动量定理由牛顿运动定律：d()dmFtv有：d()dPddImFtv力F的元冲量（动量定理的微分形式）结论：质点动量的增量等于合外力乘以作用时间的增量。对上式积分有：2121dttmmFtvv（动量定理积分形式）xyzO1mv2mvFF结论：质点动量的增量等于合力对质点作用的冲量——质点动量定理讨论物理意义：质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程合力对质点作用的冲量质点动量矢量的变化广州航海学院返回本章首页矢量性：冲量的方向与动量的增量方向相同1mv2mvI动量定理在直角坐标系中的投影式：212121212121dddxxyyzzttxttyttztmmFtmmFtmmFtvvvvvv冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量在力的整个作用时间内，平均力的冲量等于变力的冲量2121d()ttFtFttIFFtFO1t2tt广州航海学院返回本章首页利用冲力：增大冲力，减小作用时间——冲床避免冲力：减小冲力，增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲应用：广州航海学院返回本章首页质点系二、质点系的动量定理设有一系统由n个质点组成，由牛顿第二定律可得：1m2m12f21f1F2F对于第一个质点：1112131ndpF+f+f++f=dtvvvvvL即：n111ii1dpF+f=dtvvv¹å同理，对于第二个质点：n222ii2dpF+f=dtvvv¹å对于第三个质点：3n333iidpF+f=dtvvv¹å…………………对于第n个质点：nnnniindpF+f=dtvvv¹å广州航海学院返回本章首页以上各式相加并考虑到：0ijjiffiiiFpid=dtvv邋id()diiiimFtv（质点系动量定理）（微分形式）两边积分：0iiiiiiiimmFdtvv（质点系动量定理）（积分形式）表示：某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和——质点系动量定理0Ipp讨论只有外力可改变系统的总动量内力可改变系统内单个质点的动量——内部作用复杂应用动量定理的解题思路广州航海学院返回本章首页例：一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的刚球,以与钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来.设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力.F1vm2vmxy解建立如图坐标系,由动量定理得21xxxFtmmvvcos(cos)mmvv2cosmv21yyyFtmmvvsinsin0mαmvv2cos14.1NxmFFtv方向沿轴反向x广州航海学院返回本章首页三、动量守恒定律当0iiFd0iimviim常矢量v质点系动量守恒定律动量守恒的分量表述000xiixxyiiyyziizzFmPFmPFmP常量常量常量vvv如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分量为零，那么，系统的总动量虽不守恒，但它在该坐标轴的分动量则是守恒的，亦称总动量在该方向守恒。说明动量守恒定律适用于惯性系守恒的条件：系统所受的合外力为零。动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。也适用于高速，微观领域广州航海学院返回本章首页例：质量为M的车在光滑的水平面上运动，一质量为m的人站在车上。而车以速率向右运动，现在人以相对于车的速率向左跑动。试求人在左端跳离车前，车的速度为多大?0解：设人跳离车前车的速率为此时，人相对于地的速率为()-根据动量守恒定律有：0(mM)m()M+=-+0mmM=++广州航海学院返回本章首页例：如图所示，质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为m的小球对地以水平向右速度与滑块斜面相碰撞，碰后小球竖直弹起，速率为(对地)，若碰撞时间为，试计算此过程中，滑块对地的平均作用力和滑块速度增量。12t解：根据质点系动量定理，在竖直方向有：2(NmgMg)t(mM0)(00)--=+?+2mNmgMgt=++设滑块碰撞前后速度分别为V及V`，在水平方向系统不受外力作用，故动量守恒。1MVmMV`+=1mV`VM-=广州航海学院返回本章首页课后作业•P1186广州航海学院返回本章首页3.2.2动能定理能量守恒定律一、变力的功ddcosWFrxyzOab求：质点M在变力作用下，沿曲线轨迹由a运动到b，变力作的功。ddWFr一段上的功：FMFrdrrdrθ在dr在ab一段上的功为：FdbaLWFr说明：合力的功等于各分力的功的代数和12dddbbbnaLaLaLFrFrFr12n1d()dbbaLaLFrFFFrW2n广州航海学院返回本章首页在直角坐标系中：dddbxyzaLWFxFyFz（）在自然坐标系中：cosdbaLWFsddrs功是标量，且有正负一般来说，功的值与质点运动的路径有关工程上常采用示功图来计算功。如图所示，图示曲线与横轴围的面积在数值上就等于功的绝对值。cosFArBrdsro广州航海学院返回本章首页质量为10kg的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为,开始时质点位于坐标原点。2416tijv解2d4dxxttv2d4dxttd16dyytv16ytd80dxxFmttvd0dyyFmtvddxyWFxFy231320d1200Jtt在质点从y=16m到y=32m的过程中，外力做的功。求例16y时1t32y时2t，广州航海学院返回本章首页求t=02s内F作的功及t=2s时的功率。解d6dFtmtv2d3dxttv2d3dxtt23036d144Jtt0dxAFx203dtFtt2123288WttPFv例已知m=2kg,在F=12t作用下由静止做直线运动广州航海学院返回本章首页二、保守力的功势能1.几种常见力的功（1）重力的功xyzO1M2MmG②①如图所示，任一位移元可表示为：dr=dxi+dyj+dzkrrrr重力在任一位移元上所作的元功为：()dW=Fdr=-mgkdxi+dyj+dzk=-mgdzrrrrrr鬃重力mg在曲线路径M1M2上的功为211dMzMWFz211dZZmgz（）12mgzz（）结论重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。广州航海学院返回本章首页（2）引力作功Mab1r2rmFdrrd上的元功为在位移元FdrdcosdWFr2mMFGrddcos()dcosrrr2ddmMWGrr万有引力F在全部路程中的功为212()drrLmMGWrr2111()GmMrr结论万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与行经的路径无关。质点移近质点时，万有引力作正功；质点A远离质点O时，万有引力作负功。广州航海学院返回本章首页（3）弹性力的功（演示）1x2xFxO弹簧弹性力：Fkxi弹性力作的元功为：dW=Fdxi=-kxidxi=-kxdxvvvvgg由x1到x2路程上弹性力的功为21dxxWkxx22121122kxkx结论弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。广州航海学院返回本章首页（4）摩擦力的功2MvF在这个过程中所作的功为摩擦力F21cosdMMLWFsFmg摩擦力方向始终与质点速度方向相反Wmgs结论摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关。广州航海学院返回本章首页保守力与非保守力保守力：作功只与初始和终了位置有关而与路径无关的力——万有引力、重力、弹性力非保守力：作功与路径有关的力——摩擦力保守力作功特点的数学表达式ABCDddACBADBFrFrdddlACBBDAFrFrFrd0lFr表示：在保守力作用下，物体沿任一闭合曲线路径绕行一周，保守力F所作的功为零。广州航海学院返回本章首页势能：与物体间相互作用及相对位置有关的能量.重力功：12Wmgzz（）引力功：2111()WGmMrr弹力功：22121122Wkxkx重力势能：pEmgz引力势能：pmMEGr弹性势能：2p12Ekxp2p1P()WEEE保守力的功：势能和保守力的微分关系pW=Fdr=-ΔE保vvgòPFdr=-dE保vv·xyzF=Fi+Fj+Fk保rrrrppppEEEyzF=-gradE=-(i+j+k)x保抖?抖¶vvvv表示：保守力等于势能梯度的负值，这就是势能和保守力的微分关系。广州航海学院返回本章首页讨论pp(,,)EExyz势能是状态函数势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关.势能是属于系统的.势能计算：pp0p()WEEEp00p(,,)(,,)dExyzExyzFrp00E令势能曲线广州航海学院返回本章首页三、质点的动能定理ddWFrdddmrtvdmvvdmvv21ddWmvvvv2221211122kkWmmEEvv表示：作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。说明Ek是一个状态量,W是过程量。动能定律只用于惯性系。广州航海学院返回本章首页把所有质点的方程相加有:22211122iiiiiiiiWmmvv表示：作用于质点系的所有力作的功等于系统动能增量。这就是质点系的动能定理。四、质点系动能定理把质