第一章电磁场理论基础概要

——第1章电磁场理论基础微波技术与天线1.1矢量分析1.2麦克斯韦方程和边界条件1.3基于麦克斯韦理论的静态场描述1.4电磁场的波动方程、坡印廷定理和唯一性定理1.5动态矢量位和标量位1.6理想介质中的SUPW1.7SUPW的反射和折射第1章电磁场理论基础1.1矢量分析1.1.1矢量和矢量场1.标量和矢量（1）定义•标量：只有大小、没有方向的量；如：质量、温度、长度等•矢量：既有大小又有方向的量；如：力、速度、加速度、电场强度。注：零既没有大小也没有方向，因常出现在矢量的运算中，作为约定，将零称为零矢量。1.1.1矢量和矢量场（2）矢量的表示方法–图示：带箭头的线段；–书写：黑斜体，如；或斜体字母上加一箭头，如。矢量的大小称为矢量的模，记为或。矢量的方向可用单位矢量（）表示，或记作。注：直角坐标系的基矢量用，，表示；圆柱坐标系的基矢量用，，表示；球坐标系的基矢量用，，表示。AoPAAAAAAAaAAaAexeyezeeerezeee1.1.1矢量和矢量场（2）矢量的表示方法–矢量可用其在坐标轴上的投影，即坐标分量表示。–直角坐标系中AxzyzAyAxAOAxzyzAyAxAOzzyyxzyxAAAeeeAAAAxcosAAxcosAAycosAAzcoscoscoszyeeeexA图1-1-1矢量A分解为直角坐标分量1.1.1矢量和矢量场（3）位置矢量–定义：从坐标原点指向空间位置点的矢量，记为。–直角坐标系中，空间任一点的位置矢量–可用代表空间点的位置，函数可记为。rzyxP,,zyxzyeeerxPrzyxf,,rfxzyld3dl1dl2dlO1.1.1矢量和矢量场（4）微分元矢量–线微分元矢量通常称为线元矢量–线元矢量可表示成三个坐标分量的矢量和。在直角坐标系中有llddelzyxzyddddddd321eeellllx图1-1-2直角坐标系中线元矢量ld1.1.1矢量和矢量场（4）微分元矢量–面微分元矢量通常称为面元矢量dS=ndS–方向矢量n的确定•dS为开表面上的面元，n的方向与围成开表面的有向闭合曲线呈右手螺旋关系。•dS为闭合曲面上面元，n的方向为闭合面的外法线方向。nSddnSSdSCSddnSnn图1-1-3面元矢量Sd图1-1-4开表面闭合面1.1.2矢量的代数运算1.矢量的加减法–遵循平行四边形法则。–两矢量之和（或差）的直角坐标分量等于两矢量的对应坐标分量的和（或差）。–满足交换律与结合律。2.矢量与标量相乘（数乘）–标量与矢量的积为矢量。–标量与矢量相乘满足交换律、结合律和分配律。zzzyyyxxBABABAeeeBAxzzyyxuAuAuAueeeAx1.1.2矢量的代数运算3.矢量的乘法（1）矢量的标积（点积）：为标量。•等于两矢量的模与两矢量正向夹角的余弦三者之积•在直角坐标系中•满足交换律和分配律cosBABAzzyyxxBABABABABA0BA注：ABcosABBA图1-1-5矢量的标积ABBAn1.1.2矢量的代数运算（2）矢量的矢积（叉积）：为矢量。–在直角坐标系中–不满足交换律：sinBAnBAzxyyxyzxxzyzzyBABABABABABAeeeBAxzzzyyyxxBABABAeeeBAxABBABA//0BA注：图1-1-6矢量的矢积1.1.2矢量的代数运算例1-1-1三角形的3个顶点为A（0，0，0）、B（4，6，-2）和C（-2，4，8）。（1）求B点和C点的位置矢量B和C之间的夹角；（2）求B点到C点的距离矢量R及R的方向；（3）判断ABC是否为一直角三角形，并求三角形的面积。解：264zyeeeBx842zyeeeCx(1)0cosBCCBCBCBzzyyxxCBCB90315353535yzRRxReeee61484562121CBS1026-zyeeeBCRx(2)0CBABC为一直角三角形(3)标量场和矢量场确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。标量场和矢量场时变标量场和矢量场可分别表示为：(,,,)uxyzt、(,,,)Fxyzt从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：(,,)uxyz、(,,)Fxyz静态标量场和矢量场可分别表示为：1.1.3矢量场的散度1.矢量线概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线OMFdrrrdr1.1.3矢量场的散度2.通量–在矢量场中，取面元矢量，矢量穿过面元的通量记为–通量：场矢量穿过任意曲面的通量。ASdSAdcosddSAΨSSSAdcosdSAΨSAΨA1.1.3矢量场的散度0通过闭合曲面有净的矢量线穿出0有净的矢量线进入0进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义例1-1-2已知置于坐标原点处的点电荷q的电位移矢量为。计算通过以坐标原点为球心、半径为R的球面的电通量。解：34πqRDRrReRnqRRqSRqSRRqSSSe22234π4πd4πd4πdRRSDΨ说明：通过封闭球面的电通量的源是球面内的电荷q，它也是产生矢量场的源。eΨD1.1.3矢量场的散度3.散度（1）散度的定义（2）散度的运算•在直角坐标系中•引入哈密尔顿算子•散度与微分有相似的运算规则。VSVrSrArAdlimdiv0zAyAxAzyxAdivzyxzyeeexAeeeeeeAxxzzyyxzyAAAzyxdiv1.1.3矢量场的散度（3）散度定理SVVSAAdd例1-1-3无界空间中，穿出任意闭合曲面S的电通量等于S所围的体积中的总电荷，即式中，为电荷体密度。试证明：。VSVddSDD证明由散度定理可得VVSVVdddDSD0dVVDD1.1.4矢量场的旋度1.矢量场的环量与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。1.1.4矢量场的旋度如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即00(,,)d(,,)dCSBxyzlIJxyzS上式建立了磁场的环量与电流的关系。1.1.4矢量场的旋度2.环量CΓlAd矢量场对于闭合曲线C的环量定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环量不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。1.1.4矢量场的旋度3.环量面密度SCSlAdlim0SCnM过点M作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限n称为矢量场在点M处沿方向的环流面密度。n注意：其值与点M处的方向有关。n1.1.4矢量场的旋度4.旋度（1）旋度的定义：若在点M处场矢量A在某方向的环量面密度值最大，并记此最大环量面密度值为R，定义旋度为•旋度的大小等于该点的最大环量面密度值；•旋度的方向就是环量面密度取最大模值时所对应的方向。RArot1.1.4矢量场的旋度（2）旋度的运算–在直角坐标系中–采用哈密尔顿算子–运算规则与微分运算规则相似。yAxAxAzAzAyAxyzzxyyzeeeAxrotAeeeeeeAxxzzyyxzyAAAzyxrotzzyyxAzAyAxeeeAx1.1.4矢量场的旋度（3）旋度的性质–旋度的散度恒等于零。–旋度场一定是无散场。（4）斯托克斯定理0A0BABSCSAlAdd散度与旋度0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF1.1.5标量场的梯度1.标量场的等值面标量场的等值线(面)等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。1.1.5标量场的梯度1.方向导数0MulMu000limlimuMuMuul图1-1-8方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。l特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。在直角坐标系中：coscoscosuuxuyuzuuulxlylzlxyz1.1.5标量场的梯度2.梯度概念：，其中取得最大值的方向max|luuelluel意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向在直角坐标系中：coscoscoscoscoscoscos,xyzxyzlluuuulxyzuuueeeeeexyzGeGGexyzuuuueeexyz梯度的定义为：1.1.5标量场的梯度0u•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）•标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影•梯度矢量的旋度恒等于零例1-1-5求标量函数的梯度的散度。ru解:zuyuxuuzyeeex222222zuyuxuzuyuxuzyxuzyzyeeeeeexx2222222zuyuxuu注：为拉普拉斯（Laplace）运算。1.1.6亥姆霍兹定理–表述1：对于有限区域内任意一个矢量场，若给定其散度和旋度，则该矢量场就被确定，最多只差一个附加的常矢量；若同时给定了矢量场的散度、旋度和边界条件，则这个矢量场就被唯一确定，并且该矢量场可表示成一个无旋场和无散场之和。–表述2：设矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为rFrArrFVVd4π1rrrFrVVd4π1rrrFrA三种常用正交坐标系（补充）三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。zxy),,(111zrP^r^^z1R1.直角坐标系xyzrexeyez位置矢量面元矢量线元矢量ddddxyzlexeyezdddddxxyzxSelleyzdddddzzxyzSellexy体积元ddddVxyzdddddyyxzySellexz坐标变量,,xyz坐标单位矢量,,xyzeee点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）P直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积