偏导数的定义及其计算法

§8.2偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数一、偏导数的定义及其计算法类似地,可定义函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数.偏导数的定义设函数zf(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,若极限xyxfyxxfx),(),(lim00000存在,则称此极限为函数zf(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数,记作00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz,或fx(x0,y0).一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000.偏导数的符号00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz,),(00yxfx.如果函数zf(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么f(x,y)对x的偏导数是x、y的函数,这个函数称为函数zf(x,y)对x的偏导函数(简称偏导数),记作xz,xf,xz,或),(yxfx.偏导函数一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000.偏导数的符号00yyxxxz,00yyxxxf,00yyxxxz,),(00yxfx.xz,xf,xz,或),(yxfx.偏导函数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0.偏导函数的符号xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000.偏导函数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0.偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如,三元函数uf(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为xzyxfzyxxfzyxfxx),,(),,(lim),,(0,其中(x,y,z)是函数uf(x,y,z)的定义域的内点.偏导数的求法求函数对一个自变量的偏导数时,只要把其它自变量看作常数,然后按一元函数求导法求导即可.xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000.偏导函数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0.讨论下列求偏导数的方法是否正确？00),(),(00yyxxxxyxfyxf,0]),([),(000xxxyxfdxdyxf00),(),(00yyxxyyyxfyxf,0]),([),(000yyyyxfdydyxf.yxxz32,yxyz23.例1求zx23xyy2在点(1,2)处的偏导数.解例2求zx2sin2y的偏导数.解00),(),(00yyxxxxyxfyxf,0]),([),(000xxxyxfdxdyxf00),(),(00yyxxyyyxfyxf,0]),([),(000yyyyxfdydyxf.8231221yxxz,7221321yxyz.8231221yxxz,7221321yxyz.yxxz2sin2,yxyz2cos22.yxxz2sin2,yxyz2cos22.8231221yxxz,7221321yxyz.8231221yxxz,7221321yxyz.yxxz2sin2,yxyz2cos22.yxxz2sin2,yxyz2cos22.yxxz32,yxyz23.yxxz32,yxyz23.yxxz32,yxyz23.解证例3例3设)1,0(xxxzy,求证zyzxxzyx2ln1.证1yyxxz,xxyzyln.证1yyxxz,xxyzyln.zxxxxxyxyxyzxxzyxyyyy2lnln1ln11.zxxxxxyxyxyzxxzyxyyyy2lnln1ln11.zxxxxxyxyxyzxxzyxyyyy2lnln1ln11.例4例4求222zyxr的偏导数.解rxzyxxxr222ryzyxyyr222.解rxzyxxxr222ryzyxyyr222.解rxzyxxxr222ryzyxyyr222.解rxzyxxxr222ryzyxyyr222.解rxzyxxxr222ryzyxyyr222.解rxzyxxxr222ryzyxyyr222.证本例说明一个问题偏导数的记号是一个整体记号,不能看作分子分母之商.例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数),求证1pTTVVp.证因为VRTp,2VRTVp证因为VRTp,2VRTVppRTV,pRTVRpVT,RVpT所以12pVRTRVpRVRTpTTVVp.pRTV,pRTVRpVT,RVpT所以12pVRTRVpRVRTpTTVVp.所以12pVRTRVpRVRTpTTVVp.所以12pVRTRVpRVRTpTTVVp.偏导数的几何意义fx(x0,y0)[f(x,y0)]xfy(x0,y0)[f(x0,y)]yzf(x,y0)zf(x0,y)是截线zf(x,y0)在点(x0,y0)处的切线Tx对x轴的斜率.是截线zf(x0,y)在点(x0,y0)处的切线Ty对y轴的斜率.偏导数的几何意义偏导数与连续性对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.例如.00,0),(222222yxyxyxxyyxf但函数在点(0,0)并不连续.在点(0,0),有fx(0,0)0,fy(0,0)0,提示：0)0,(xf,0),0(yf0)]0,([)0,0(xfdxdfx,0)],0([)0,0(yfdydfy.提示：当点P(x,y)沿直线ykx趋于点(0,0)时,有22222022)0,0(),(1limlimkkxkxkxyxxyxkxyyx.因此,函数f(x,y)在(0,0)的极限不存在,当然也不连续.二、高阶偏导数二阶偏导数如果函数zf(x,y)的偏导数fx(x,y)、fy(x,y)也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数zf(x,y)的二阶偏导数.函数zf(x,y)的二阶偏导数有四个其中fxy(x,y)、fyx(x,y)称为混合偏导数.类似地可定义三阶、四阶以及n阶偏导数.),()(22yxfxzxzxxx,),()(2yxfyxzxzyxy,),()(2yxfxyzyzxyx,),()(22yxfyzyzyyy.),()(22yxfxzxzxxx,),()(2yxfyxzxzyxy,),()(2yxfxyzyzxyx,),()(22yxfyzyzyyy.解22)(xzxzx,yxzxzy2)(,xyzyzx2)(,22)(yzyzy.此例中两个混合偏导数是相等的.解yyyxxz32233,xxyyxyz2392解yyyxxz32233,xxyyxyz2392解yyyxxz32233,xxyyxyz2392解yyyxxz32233,xxyyxyz2392例6设zx3y23xy3xy1,求22xz、33xz、xyz2和yxz2.2226xyxz,2336yxz196222yyxyxz,196222yyxxyz.2226xyxz,2336yxz2226xyxz,2336yxz2226xyxz,2336yxz196222yyxyxz,196222yyxxyz.196222yyxyxz,196222yyxxyz.196222yyxyxz,196222yyxxyz.定理如果二阶混合偏导数xyz2及yxz2在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.定理解22)(xzxzx,yxzxzy2)(,xyzyzx2)(,22)(yzyzy.解yyyxxz32233,xxyyxyz2392解yyyxxz32233,xxyyxyz2392解yyyxxz32233,xxyyxyz2392解yyyxxz32233,xxyyxyz2392例6设zx3y23xy3xy1,求22xz、33xz、xyz2和yxz2.2226xyxz,2336yxz196222yyxyxz,196222yyxxyz.2226xyxz,2336yxz2226xyxz,2336yxz2226xyxz,2336yxz196222yyxyxz,196222yyxxyz.196222yyxyxz,196222yyxxyz.196222yyxyxz,196222yyxxyz.证证因为)ln(21ln2222yxyxz,所以22yxxxz,22yxyyz,222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz,222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz.因此0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz.证因为)ln(21ln2222yxyxz,所以22yxxxz,22yxyyz,22yxxxz,22yxyyz,22yxxxz,22yxyyz,222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz,222222222222)()(2)(yxxyyxxxyxxz,222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz.222222222222)()(2)(yxyxyxyyyxyz.因此0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz.因此0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz.因此0)()(22222222222222yxxyyxyxyzxz.例7例7验证函数22lnyxz满足方程02222yzxz.同理5232231ryryu,5232231rzrzu.证32211rxrxrxrrxu,证例8例8证明函数ru1