附录A 截面的几何性质

§附A-1、截面的面积矩和形心一、截面的面积矩OAdAyyzzyAzASzdASydA同一截面对于不同的坐标轴有不同的面积矩；面积矩可正，可负也可为零。二、截面的形心OAdAzzcCyzyycAzcAycydASyAAzdASzAA形心：zcycSyASzA如果截面对某一轴的面积矩等于零，则该轴必过截面的形心；反之，截面对于通过形心的轴的面积矩等于零。三、组合截面的面积矩和形心ciniizciniiyyASzAS11面积矩：1111niciicniiniciicniiAyyAAzzA形心：例1：求图示T字形截面的形心位置。OyzczcycC1C2CⅠⅡ1002020140zyc解：取yoz坐标系。1111100201501402070103.3100201402050niciicniiniciicniiAyymmAAzzmmAOyzcC1C2CⅠⅡ1002020140yc§附A-2、截面的惯性矩和惯性积dAyIdAzIAzAy22惯性矩：1.Iy,Iz恒为正;2.若z⊥y，极惯性矩Ip=Iy+Iz。OAdAyyzz22,,yyyyzzzzIiIAiAIiIAiA惯性半径：如有一根坐标轴是截面的对称轴，则截面对这对轴的惯性积必为零。dAyzIAyz惯性积：惯性积可正，可负也可为零。当Iy0z0=0时，称y0、z0——主惯性轴（主轴）。OAdAyyzz当主轴通过截面形心时，yc、zc——形心主轴。Iyc、Izc——形心主惯性矩。1.如果截面有一根对称轴，则该轴与之正交的形心轴即为形心主轴；2.如果截面有两根对称轴，则该对对称轴即为形心主轴；3.如果截面有两根以上的对称轴（如圆，正方形等），则任一对正交的形心轴即为形心主轴，且截面对任一形心主轴的惯性矩均相等。4.如果截面没有对称轴，形心主轴如何确定？例2：计算矩形对y轴和z轴的惯性矩。Ozyzydydzh/2h/2b/2b/2121233bhIhbIzy例3：计算圆形对其直径轴Y和Z的惯性矩。设圆的直径为d。zyydydφ326444dIIIdIIzypzyOCyzzyyczcyczcab§附A-3、平行移轴公式yc、zc为一对形心坐标轴，y∥yc，z∥zc。则：dAbzIAcy2)(AbIyc2abAIIAaIIcczyyzzcz2同理——平行移轴公式。dA组合截面的惯性矩和惯性积211iicinnyyyiiiIIIbA21111iiciiicicinnzzziiinnyzyzyziiiiiIIIaAIIIabA例4：求图示T字形截面的形心主惯性矩。Ozcb1b2zcycC1C2CⅠⅡ1002020140yzyc解：3354323254201001402017.61012121002010020150103.3122014020140103.37012121.0710ccyzImmImmOzcb1b2zcycC1C2CⅠⅡ1002020140yzyc例图示的矩形中，挖去两个直径为d的圆形，求余下部分(阴影部分)图形对z轴的惯性矩。解此截面对z轴的惯性矩为zzz2III圆矩3z12bhI矩24242zz5642464cddddIIaA圆3434z55212641232bhdbhdI例由两个20a号槽钢截面组成的组合截面如图(a)所示。设a=100mm，试求此组合截面对y，z两根对称轴的惯性矩。解：由附录一可查得图（b）所示一个20a号槽钢截面的几何性质：c2244y44z028.8310mm12810mm1780.410mm20.1mmcAIIz因此，组合截面Iz=2Izc=2×1780.4×104mm4=3560.8×104mm42yyc022aIIzA2442244100mm212810mm20.1mm28.8310mm3089.410mm2§附A-4、惯性矩和惯性积的转轴公式Oyzy`z`zydAy`z`αα'cossin'cossinyyzzzy''2cos2sin222yAyzyzyzIzdAIIIII'cos2sin222yzyzyzzIIIIII''sin2cos22yzyzyzIIII。以逆时针方向旋转为正pzyzyIIIII''§附A-5、主轴和主惯性矩设yo，zo——主轴，令αo为主轴与原坐标轴的夹角00sin2cos202yzyzoyzoIIIαIα2tan2yzoyzIIIαo也是惯性矩为极值时的轴与原坐标轴的夹角。22minmax)2(200yzzyzyIIIIIIIIIzy.如果截面没有对称轴，形心主轴如何确定？2tan2yzoyzIII2、过形心取一对正交轴y,z，利用平行移轴公式计算截面对这对轴的惯性矩Iy,Iz和惯性积Iyz.3、利用公式计算主轴位置。4、利用公式00max22min()22yzyzyzyzIIIIIIIII计算主惯性矩。1、确定形心位置；