第 7 章 模糊逻辑与模糊推理(7.1.4 模糊运算与模糊推理)

1IIP’2011-2012(1)模糊逻辑与模糊推理SchoolofInformationScience&TechnologyDalianMaritimeUniversity2011-10-292IIP’2011-2012(1)目录第7章模糊逻辑与模糊推理7.1.1模糊逻辑的历史7.1.2模糊集7.1.3隶属函数7.1.4模糊运算与模糊推理7.1.5模糊系统3IIP’2011-2012(1)1.模糊运算与经典集合的并、交、补的运算相对应，模糊集合也有相似的运算。模糊并、模糊交、模糊补1）模糊子集当且仅当对所有的ξ，均有，则称模糊集合A被包含在模糊集合B中，或称A是B的子集，或称模糊集合A小于或等于模糊集B。记为()()AB()()ABAB4IIP’2011-2012(1)模糊子集例子模糊控制器的语言变量是指其输入和输出变量，在输入变量或输出变量的论域上，往往需要为语言变量选取多个语言变量值。“正大”、“正中”、“正小”、“几为零”、“负大”、“负中”、“负小”等，它们就分别是一个模糊子集。以人们通常概念上（而不是法定意义的“大于18周岁”）的“成年人”作为一个模糊集合，那么就可用“青年人”、“壮年人”、“中年人”和“老年人”作为“成年人”的语言值。而这几个语言值都分别是“成年人”模糊集合的模糊子集。模糊子集的范畴比语言值更广，但使用更多的是模糊集合的语言值。5IIP’2011-2012(1)2）模糊并（一）两个模糊集合A和B的“并”为模糊集合C。写成C＝AUB，或C＝AorB。C与A和B的隶属函数的关系为由模糊子集的关系，可以很容易地理解模糊并的算子为max，即两者取其大。()max((),())CAB图7.19两个模糊集A与B图7.20AUB6IIP’2011-2012(1)3）模糊交（一）两个模糊集合A和B的“交”为模糊集合C。写成C=A∩B，或C＝AandB。C与A和B的隶属函数的关系为由模糊子集的关系，可以很容易地理解模糊交的算子为min，即两者取其小。()min((),())CAB图7.19两个模糊集A与B图7.21A∩B7IIP’2011-2012(1)4）模糊补模糊集合A的补表示为－A或（非A）。模糊补的隶属函数定义为A()1()AA图7.19两个模糊集A与B图7.22－B8IIP’2011-2012(1)设求A∪B，A∩B则43215.08.02.09.0uuuuA43216.04.01.03.0uuuuB43216.08.02.09.0uuuuBA43215.04.01.03.0uuuuBA例子：模糊交集和并集9IIP’2011-2012(1)试证普通集合中的互补律在模糊集合中不成立：证：设，则1)()(uuAA0)()(uuAA4.0)(uA6.04.01)(uA16.06.04.0)()(uuAA04.06.04.0)()(uuAA例子：模糊补集的互补律10IIP’2011-2012(1)1．幂等律A∪A=A，A∩A=A2．交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)模糊集的运算法则（1）11IIP’2011-2012(1)4．吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A5．分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．复原律AA模糊集的运算法则（2）12IIP’2011-2012(1)7．对偶律8．两极律A∪E=E，A∩E=AA∪Ф=A，A∩Ф=ФBABABABA模糊集的运算法则（3）13IIP’2011-2012(1)模糊交集与T范式模糊集合A和B的交集可由一个二元映射T指定，它将两个隶属函数按如下方式结合起来二元运算T可代表和的乘积。这些模糊交集算子通常被归为T范式（三角范式）算子。()A()B()((),())ABABT14IIP’2011-2012(1)二元映射的性质如果一个T范式算子是一个二元映射（·，·），则应当满足如下要求：有界性T(0，0)=0，T(a，1)=T(1，a)=a单调性T(a，b)≤T(c，d)，ifa≤candb≤d交换律T(a，b)=T(b，a)结合律T(a，T(b，c))=T(T(a，b)，c)推论：一个明确的集合具有适当的一般性集合A或B中隶属值的减少不会导致A，B交集中隶属度的增加运算符对模糊集合的顺序是无关紧要的表示可以按任意的顺序对任意多个集合进行模糊交运算15IIP’2011-2012(1)模糊并与T协范式模糊并的运算由一个指定的二元映射S产生，即二元运算S可以表示和的加法。这些模糊并算子通常被归为T协范式(或S范式)运算符。T协范式（或S范式）算子是一个二元映射S(·，·)，则它必须满足：有界性S(1，1)=1，S(a，0)=S(0，a)=a单调性S(a，b)≤S(c，d)，ifa≤candb≤d交换律S(a，b)=S(b，a)结合律S(a，S(b，c))=S(S(a，b)，c)))(),(()(BABAS)(A)(B16IIP’2011-2012(1)T范式和T协范式人们已经提出了多参数的T范式和双T协范式。每一种都提供了一种在函数中改变增益的方法，因此它可以具有很强的限制性，也可以具有很强的容许性。17IIP’2011-2012(1)5）模糊交（二）----模糊乘规则模糊乘规则的前提是由n个单变量语句的模糊交（AND）构成它产生一个新多变量隶属函数，记为，它定义在初始的n维输入空间上，其输出如下：式中，是一类称为三角范式(TriangularNorm)的函数11()...()iinnAAisANDANDis()iA11()((),...,())iiinnAAA11...(,...,)iinnAA18IIP’2011-2012(1)5）模糊交（二）三角范式提供了大量函数以实现模糊交min算子乘法(Product)算子一个二维的模糊隶属函数由两个三角(2阶B样条)单变量隶属函数的乘积构成，形状如图7.23所示。19IIP’2011-2012(1)5）模糊交（二）图7.23两个三角单变量隶属函数乘积构成的二维模糊隶属函数20IIP’2011-2012(1)5）模糊交（二）多变量隶属函数的形状决定于单变量隶属函数的形状以及三角范式的算子。用乘法算子构成的多变量隶属函数所保留的信息，比用min算子实现模糊“AND”时所保留的信息要多。因为后者仅保留了一段信息，而乘法算子结合了n段信息。当完整地定义了一阶导数时，采用乘法算子还允许将误差信息反向传播回网络中。一般情况下，其输出结果是一个更平滑的曲面。21IIP’2011-2012(1)5）模糊交（二）当每一个语句表达式都用单变量B样条和高斯模糊隶属函数表示时，多变量隶属函数是一个简单的n维B样条或高斯基函数。当所有可能的模糊交集都由n个模糊隶属函数集合得到时，它隐含地在初始输入空间上（多变量模糊隶属函数也在这个初始输入空间上定义）产生一个n维网格，如图7.24所示。22IIP’2011-2012(1)5）模糊交（二）12图7.24由两个三角模糊集构成的二维模糊集23IIP’2011-2012(1)5）模糊交（二）在图7.24中，一个完整的二维模糊隶属函数集合由两个三角单变量模糊集合产生。图中的实心圆表示其中心，虚线区表示两个单变量集合如何用交集算子结合起来。当模糊交集由每一个可能的单变量模糊输入集的结合得到时，多变量隶属函数的数目是输入变量数目的指数函数（ExponentialFunction）。此时称这种模糊系统是完备的。对每一个输入，至少存在一个具有非0隶属度的多变量模糊集。只要从上图中移去一个多变量模糊集，则意味着模糊规则库不再是完备的（因为在移去集合的中心，每个基函数的隶属度为0）。24IIP’2011-2012(1)5）模糊交（二）假设一个系统有4个输入变量，一个输出变量，每个变量各有7个语言值，则一个完备的模糊网络将会有＝16807个中心点。除非用特定的方法构造模糊网络的输入，否则这些系统将会遇到所谓的“维数灾难（CurseofDimensionality）”，这限制了它们用于小维数的建模与控制问题。5725IIP’2011-2012(1)6）模糊并（二）如果h个多变量模糊输入集合映射到q个单变量模糊输出集合上，则对hq个逻辑关系，存在hq个相对应的叠加的n+1维隶属函数。这hq个逻辑关系被各个隶属函数并(OR)相结合，构成一个模糊规则库R。该运算定义如下：式中，为一类称为三角协范式的函数。三角协范式同样提供了大量的适用函数max算子加法算子iAjB,,(,)(,)ijRijryy26IIP’2011-2012(1)6）模糊并（二）用max算子可以保证在输入输出空间每一特定的点上，只有一个规则对输出有作用。各个作用之和可以保证若干规则影响相关曲面(RelationalSurface）。但是，在理论上用加法不能保证合理性，因为它产生的输出可能大于1。当输入输出单变量隶属函数构成单位分解、乘法算子用于交集和蕴涵，并且规则信度向量归一时，这就不是什么问题了，因为系统是自标准的。(,)Ry27IIP’2011-2012(1)6）模糊并（二）当用不同的反模糊化过程执行蕴涵标准化时，在蕴涵中同样可以使用加法算子，即使它产生的值大于1。所有各相关隶属函数的模糊并，在输入输出空间中构成一条岭线，它表示各输入输出对是如何相联系的，并且当给定一个特定的输入测量时，它可用于推断模糊输出隶属函数。这个过程称为模糊推理。一个典型的模糊相关关系如图7.25所示。(,)Ry28IIP’2011-2012(1)6）模糊并（二）图7.25模糊输入输出相关关系29IIP’2011-2012(1)6）模糊并（二）在图7.25中，在每一个变量上定义了4个三角模糊集（2阶B样条），代数函数用于实现逻辑运算。它们产生一个模糊相关关系曲面，在规则中心点之间是分段线性的，而且从等高线图可以清晰地看出输入和输出关系的总趋势。30IIP’2011-2012(1)2.模糊规则与模糊推理在模糊推理中，经常碰到模糊if-then规则，简称模糊规则。1)模糊规则模糊if-then规则又称模糊隐含或模糊条件语句。if-then规则语句用以阐明包含模糊逻辑的条件语句。一个单独的模糊if-then规则形式如下：ifxisAthenyisB其中，A和B是由模糊集合分别定义在x，y范围（论域）上的语言值。模糊规则中if部分“xisA”被称为规则的前提或假设then部分“yisB”被称为结果或结论31IIP’2011-2012(1)1）模糊规则实质上，该表达式描述了变量x与y之间的关系。因此，可以把if-then规则定义为乘积空间中的二元模糊关系。32IIP’2011-2012(1)1）模糊规则例如，要购买一个软件，其价格由其用户界面和软件功能决定。若单独考虑其价格，则ifinterfaceisgoodthenchargeishigh注意：“good”用一个0和1之间的数字表示，因此所谓的前提是一个解析，它返回一个0和1之间的单值。“high”由一个模糊集合表示，因此所谓的结果是一个分配，它分配整个模糊集合B到输出变量y。在if-then规则中，当“is”分别出现在前提和结果中时，其意义完全不同。就如在MATLAB术语中，使用关系运算符“＝＝”和使用变量赋值符号“＝”时，其意义也完全不同。33IIP’2011-2012(1)1）模糊规则书写这个规则时，避免混淆的写法是ifinterface＝＝goodthencharg