2.正态分布及抽样误差

正态分布及其应用Normaldistributionanditsapplications统计学中最重要的理论分布之一2正态分布(Normaldistribution)法国概率论学者狄莫弗德国数学家Gauss最早用于物理学、天文学Gaussiandistribution3为什么如此摆放奖品？高尔顿钉板试验正态分布的背景－一个街头赌博游戏4Ox-8-7-6-5-4-3-2-112345678正态分布的背景－高尔顿钉板试验512413214014815616400.100.200.300.40频率图某市120名12岁男童身高(cm)的频率分布正态分布图示x0.1.2.3.4f(x)正态分布的概率密度函数如果随机变量X的概率密度函数则称X服从正态分布,记作X～N(,2),其中，为分布的均数，为分布的标准差。22()21()2XfXe(-∞＜X＜+∞)方差相等、均数不等的正态分布图示312均数相等、方差不等的正态分布图示213正态分布的特征正态分布有两个参数(parameter)，即位置参数(均数)和形态参数(标准差)。高峰在均数处；均数两侧完全对称。正态曲线下的面积分布有一定的规律。正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。S(-,-X)S(X,)＝S(-,-X)正态曲线下的面积规律对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1-x2x2x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)正态曲线下的面积规律-4-3-2-101234-3-2-++2+3S(-,-3)=0.0013S(-,-2)=0.0228S(-,-1)=0.1587S(-,)=0.5S(-,+3)=0.9987S(-,+2)=0.9772S(-,+1)=0.8413S(-,)=1正态曲线下的面积规律-4-3-2-101234-3-2-++2+31-S(-3,+3)=0.00261-S(-2,+2)=0.04561-S(-,+)=0.3174正态曲线下的面积规律-3-2-++2+3S(-,-3)=0.0013S(-,-2)=0.0228S(-,-1)=0.1587S(-,-0)=0.5S(-3,-2)=0.0215S(-2,-1)=0.1359S(-1,)=0.3413-4-3-2-101234正态曲线下的面积规律-1.96+1.962.5%2.5%95%正态曲线下的面积规律-1.64+1.645%5%90%正态曲线下的面积规律-2.58+2.580.5%0.5%99%S(-1.96,+1.64)=?思考92.5%正态曲线下的面积规律正态曲线下面积总和为1；正态曲线关于均数对称；对称的区域内面积相等；对任意正态曲线，按标准差为单位，对应的面积相等；-1.64～+1.64内面积为90%；-1.96～+1.96内面积为95%；-2.58～+2.58内面积为99%。小于-3的面积为0.13%;小于-2的面积为2.28%;小于-的面积为15.87%。标准正态分布标准正态分布(standardnormaldistribution)是均数为0，标准差为1的正态分布。记为N(0,1)。标准正态分布是一条曲线。概率密度函数：uXe221()2(-∞＜u＜+∞)正态分布转换为标准正态分布若X～N(,2)，作变换：则u服从标准正态分布。u称为标准正态离差(standardnormaldeviate)Xu~(0,1)N标准正态分布曲线下面积(u)u0.000.020.040.060.08-3.00.00130.00130.00120.00110.0010-2.50.00620.00590.00550.00520.0049-2.00.02280.02170.02070.01970.0188-1.90.02870.02740.02620.02500.0239-1.60.05480.05260.05050.04850.0465-1.00.15870.15390.14920.14460.1401-0.50.30850.30150.29460.28770.281000.50000.49200.48400.47610.46810u正态分布的应用估计频数分布质量控制确定临床参考值范围估计频数分布某项目研究婴儿的出生体重服从正态分布，其均数为3150g，标准差为350g。若以2500g作为低体重儿，试估计低体重儿的比例。首先计算标准离差：查标准正态分布表:(-1.86)=0.0314结果：估计低体重儿的比例为3.14%.u250031501.86350质量控制质量控制的意义监控日常工作、科研过程、生产过程中误差的变化，分析变化的趋势是否出现异常，从而引起警觉和注意，以便分析原因，并及时采取措施。27质量控制图(qualitycontrolchart)123456789101112131415测量M+3SDM+2SDMM-2SDM-3SD参考值范围(referenceinterval)参考值范围又称正常值范围(normalrange)。什么是参考值范围：是绝大多数正常人的某观察指标所在的范围。绝大多数：90%，95%，99%等等。确定参考值范围的意义：用于判断正常与异常。“正常人”的定义：排除了影响所研究的指标的疾病和有关因素的同质的人群。参考值范围确定的原则选定同质的正常人作为研究对象控制检测误差判断是否分组(性别,年龄组)选择百分界值(90%,95%)确定可疑范围单、双侧问题单侧与双侧参考值范围根据医学专业知识确定！双侧：白细胞计数，血清总胆固醇，单侧：上限:转氨酶，尿铅，发汞……下限:肺活量，IQ，参考值范围的估计方法方法双侧单侧下限单侧上限正态分布法Xus/2XusXus例20～29岁正常成年男子尿酸浓度求双侧95%的参考值范围：下限上限350.24(/),32.97xmolLs1.96350.2432.97285.62(/)1.96350.2432.97414.86(/)xsmolLxsmolL总结正态分布是描述个体变异的重要分布之一，也是统计学理论中的重要分布之一；正态分布是一簇分布，由两个参数决定：均数和标准差；正态分布曲线下的面积是有规律的，且与标准正态分布曲线下的面积对应(以标准正态离差为单位)。需要掌握的内容正态分布的性质正态曲线下面积的分布规律参考值范围确定的原则和方法抽样误差及其规律性Samplingvariabilityanditsattributes了解抽样误差规律的重要性总体同质个体、个体变异总体参数未知样本代表性、抽样误差随机抽样样本统计量已知统计推断风险抽样误差(samplingerror)由抽样引起的样本统计量与总体参数间的差别。原因：个体变异＋抽样表现：样本统计量与总体参数间的差别不同样本统计量间的差别抽样误差是有规律的！模拟试验假设一个已知总体，从该总体中多次抽样，对每个样本计算样本统计量(均数、方差等)，观察样本统计量的分布规律－－抽样分布规律。考察：不同的分布不同的样本含量对统计量的影响。均数的模拟试验从不同总体中进行抽样，观察均数的抽样分布规律。偏三角分布总体均匀分布总体指数分布总体U型分布总体考察：样本均数的均数与总体均数有何关系？样本均数的标准差与总体标准差有何关系？样本均数的分布形状如何？不同的样本含量对上述性质的影响如何？从已知总体中抽样μ=0σ=1样本含量n=10抽样次数m=10000=0.0681S=0.7245x=-0.1703S=0.9248=0.3747S=1.2473xxSamplingDistributionofsamplemeansSamplingDistributionofsamplemeansSamplingDistributionofsamplemeansPopulationBXXPopulationCXPopulationDXPopulationAn=10n=4n=25n=2SamplingDistributionofsamplemeansXXXXSamplingdistributionformeans均数的抽样误差之特点各样本均数未必等于总体均数；样本均数间存在差异；样本均数的分布很有规律，围绕总体均数，中间多两边少，左右基本对称；样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大大缩小；随着样本含量的增加，样本均数的变异范围逐渐缩小。中心极限定理(centrallimittheorem)Case1:从正态分布总体N(μ,σ)中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得无限多个样本，每个样本计算样本均数，则样本均数也服从正态分布。样本均数的均数为μ;样本均数的标准差为。xn中心极限定理(centrallimittheorem)Case2:从非正态(nonnormal)分布总体(均数为μ，方差为σ)中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得无限多个样本，每个样本计算样本均数，则只要样本含量足够大(n50),样本均数也近似服从正态分布。样本均数的均数为μ;样本均数的标准差为。xn标准误(standarderror)样本统计量的标准差称为标准误。样本均数的标准差称为均数的标准误。均数的标准误表示样本均数的变异度。当总体标准差未知时，用样本方差代替，前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。xnxssn均数标准误的计算例：某市16岁女中学生的身高均数(μ)为155.4cm，标准差(σ)为5.3cmn=10)(68.110/3.5cmX与样本含量的关系n越大，均数的均数就越接近总体均数；n越大，变异越小，分布越窄；对称分布接近正态分布的速度，大于非对称分布。分布越偏，接近正态分布所需样本含量就越大。标准误与标准差（1）联系：都表示变异的大小；样本含量一定时，标准差越大，标准误越大。nSSX/标准误与标准差（2）标准差含义：一组变量值离散程度；标准差越小，均数的代表性越好；应用：估计参考值范围；与n的关系：样本含量越大，标准差越稳定，n很大时，标准差趋向于总体标准差。标准误与标准差（3）标准误含义：样本统计量的离散程度；标准误越小，用样本均数来反映总体均数越可靠；应用：计算可信区间；与n的关系：样本含量越大，均数的标准误越小，n很大时，标准误趋向于0。正态分布的标准化变化若X~N(μ,σ),则~(0,1)XN因,则~(0,1)XXuNXXN~(,)t分布的概念实际工作中，总体方差未知。所以，用样本方差代替总体方差此时的分布如何？XXs从N(0,1)中1000次抽样的t值的分布(n=4)Fractiont-8-6-4-2024680.05.1.15.2.25.3t值的均数为0.05696t的标准差为1.55827XXtst分布的概念用样本方差代替总体方差，此时不服从正态分布。而服从t分布。记为：XXs(1)~/nXXXttssnt分布1908年Gosset以笔名Student发表。故又称Studentt分布。t分布是一簇分布，与自由度有关。自由度(degreeoffreedom):df、自由度分别为1、5、∞时的t分布f(t)=5=10.10.2-4-3-2-1012340.3=∞(标准正态曲线)XXtst分布的性质t分布为一簇单峰分布曲线。t分布以0为中心，左右对称。分布的高峰位置比u分布低，尾部高。即相同的