(新)绝对值不等式

复习回顾：我们知道,一个实数a的绝对值的意义:⑴(0)0(0)(0)aaaaaa;（定义）⑵a的几何意义:OA||axa0关于绝对值还有什么性质呢?表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离.①2aa②abab,aabb,……二、绝对值不等式思考:用恰当的方法在数轴上把,,abab表示出来，你能发现它们之间的什么关系?注：绝对值的几何意义:⑴a表示数轴上的数a对应的点A与原点O的距离OA;⑵ab表示数轴上的数a对应的点A与数b对应的点B的距离.如图:即a=OA，abAB猜想：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）已知,ab是实数，试证明：abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）证明:10.当ab≥0时,||,||()||||||||(||||)||||22222222ababababaabbaabbabab20.当ab0时,||,||()||||||||||||||(||||)||||22222222222ababababaabbaabbaabbabab综合10,20知定理成立.如果把,ab换为向量,ab，根据向量加法的三角形法则,易知abab≤.(同向时取等号)定理1（绝对值三角形不等式）如果,ab是实数，则abab≤（当且仅当0ab≥时，等号成立.）abababab推论11212nnaaaaaa≤定理2如果a、b、c是实数,--------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|-------当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.定理3如果a、b是实数,--------那么||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≤0时,等号成立.当且仅当ab≥0时,等号成立.将定理中的实数a、b换成向量(或复数)仍成立例1已知ε0,|x-a|ε,|y-b|ε,求2x+3y-2a-3b|5ε证:证明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2ε+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|5ε.例2两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解。·10·x·201:形如|x|a和|x|a(a0)的含绝对值的不等式的解集①不等式|x|a的解集为{x|-axa}②不等式|x|a的解集为{x|x-a或xa}0-aa0-aa注：如果0a≤，不等式的解集易得.利用这个规律可以解一些含有绝对值的不等式.绝对值不等式的解法解：对绝对值里面的代数式符号讨论：5x-6≥05x-66-x(Ⅰ)或(Ⅱ)5x-60-（5x-6）6-x解(Ⅰ)得：6/5≤x2解(Ⅱ)得：0x6/5取它们的并集得：（0，2）解不等式|5x-6|6–x(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为5x-66-x，解得x2,所以6/5≤x＜2(Ⅱ)当5x-60,即x6/5时，不等式化为-(5x-6)6-x，解得x0所以0x6/5综合(Ⅰ)、(Ⅱ)取并集得（0，2）解：解不等式|5x-6|6–x解：分析：对6-x符号讨论，当6-x≦0时,显然无解；当6-x0时,转化为-(6-x)5x-6(6-x)由绝对值的意义，原不等式转化为：6-x0-(6-x)5x-6(6-x)X6-(6-x)5x-65x-6(6-x)0x2进一步反思:不等式组中6-x0是否可以去掉有更一般的结论：|f(x)|g(x)-g(x)f(x)g(x)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x)2.型如|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c∈R)不等式解法c0ax+bc或ax+b-c|ax+b|cc0xR当时,当时,c0cax+bc|ax+b|cc=0ax+b=0c0x当时,当时,当时,(1)|32|7x≥(4)1|34|6x≤2(2)|3|4xx(3)|32|1x解:∵|32|7x≥∴237x≥∴237237xx或≥≤∴52xx或≥≤∴原不等式的解集为,25,.(1,4)(,0)(1,)2105(1,][,)333试解下列不等式：课堂练习一：3.型如|ax+b|+|cx+d|≥k(k∈R)不等式解法例解不等式|x-1|+|x+2|≥5方法一：利用绝对值的几何意义，体现了数型结合的思想．-212-3解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或x=2所以原不等式的解为x2或x-3解：１０当x1时，原不等式同解于X≥2X-2-(X-1)-(X+2)≥5(X-1)+(X+2)≥5X1-(X-1)+(X+2)≥5-2≤x≤1X≤-3x∈综合上述知不等式的解为x2或x-33０当x-2时，原不等式同解于2０当-2≤x≤1时，原不等式同解于方法二：利用|x-1|=0，|x+2|=0的解体，将数轴分为三个区间，然后在这三个区间上将原不等式化为不含绝对值符号的不等式求解．现了分类讨论的思想．例解不等式|x-1|+|x+2|≥5(x-1)+(x+2)-5x1-(x-1)+(x+2)-5-2≤x≤1-(x-1)-(x+2)-5x-2f(x)=f(x)=2x-4x1-2-2≤x≤1-2x-6x-2解原不等式化为|x-1|+|x+2|-5≥0令f(x)=|x-1|+|x+2|-5,则-312-2-2xy由图象知不等式的解为x2或x-3方法三：通过构造函数，利用了函数的图象，体现了函数与方程的思想．例解不等式|x-1|+|x+2|≥5型不等式的解法和）（cbxaxcbxax2①利用绝对值不等式的几何意义②零点分区间法③构造函数法13614x例；　解不等式.32,135,31032135310323103516436143143643143:故原不等式的解集为或解得或或即等式组原不等式等价于下列不解xxxxxxxxxx234:3,(2)(3)4,35,2342(,3].32,(2)(3)4,3254,234(3,2).2,2(2)(3)4,xxxxxxxxxxxxxxxxxxx　解不等式　　解当时原不等式可化为解得即不等式组的解集是当时原不等式可化为即显然成立所以不等式组的解集为当时原不等式可化为即例　23,[2,).2342,.xxxR不等式组的解集是综上所述原不等式的解集是122:1,(1)(2)2,111,,1.1222212,(1)(2)2,1212,122(1,2).52,122,3,2xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解不等式解当时原不等式可化为解得即不等式组的解集是当时原不等式可化为即显然成立所以不等式组的解集是当时原不等式可化为即所以不等式组例；252,.122215,,.22xx的解集是综上所述原不等式的解集是3.不等式有解的条件是()练习:1.解不等式|2x-4|-|3x+9|12.对任意实数x，若不等式|x+1||x2|k恒成立，则k的取值范围是（）()3Ak()3Bk()3Ck≤()3Dk≤B43xxa()1Ba()1Da1()10Ca1()010AaB6135xxx或4.|x-1|2(x-3)5.|2x+1||x+2|X5X-1或x1学习小结:解绝对值不等式的基本思路是去绝对值符号转化为一般不等式来处理。主要方法有：⑴同解变形法:运用解法公式直接转化；⑵定义法:分类讨论去绝对值符号；①含一个绝对值符号直接分类；②含两个或两个以上绝对值符号:零点分段法确定.⑶数形结合（运用绝对值的几何意义）;⑷利用函数图象来分析.