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习题1111.1.1.1.11.对一组整数进行四则运算，所得结果是什么数解解解解（1）整数相加得到整数；（2）整数相减得到整数；（3）整数相乘得到整数；（4）整数相除得到的是有理数。所以对一组整数进行四则运算得到的是有理数。2．写出4个数码1,2,3,4的所有4阶排列.分析分析分析分析4阶排列是指由1,2,3,4构成的有序的数组,共有4！个,每个数字必须出现且只能出现一次,具体做法可以是先确定排在第一位的数,比如为1,然后排第二位的数分别为2,3,4,接着排第三位、第四位的数.解解解解1234124313241342142314322134214323142341241324313124314232143241341234214123413242134231431243213．分别计算下列四个4阶排列的逆序数,然后指出奇排列是（A）（A）4312；（B）4132；（C）1342；（D）2314分析分析分析分析计算排列逆序数的方法有两种:方法一方法一方法一方法一12111()()niiiiiττ=⋯后面比小的数的个数＋222()iiτ后面比小的数的个数＋⋯⋯＋111()nnniiτ−−−后面比小的数的个数方法二方法二方法二方法二1前面比1大的数的个数＋2前面比2大的数的个数＋＋前面比大的数的个⋯⋯(1)n−1n−数.逆序数是奇数的称为奇排列，逆序数是偶数的成为偶排列.解解解解按方法一计算：奇排列(4312)325τ=+=偶排列(4132)314τ=+=偶排列(1342)112τ=+=偶排列故选A.(2314)112τ=+=4．计算以下各个排列的逆序数,并指出它们的奇偶性:（1）314265；(2)314265789；（3）542391786；（4）987654321；（5）246813579；（6）.(1)21nn−⋯解解解解按习题3分析中的方法一计算：（1）偶排列(314265)2114τ=++=（2）偶排列(314265789)2114τ=++=（3）奇排列(542391786)431141115τ=++++++=（4）偶排列(987654321)8765432136τ=+++++++=（5）偶排列(246813579)123410τ=+++=（6）,这表明该排列的逆序数与n有关,故1((1)21)(1)(2)21(1)2nnnnnnτ−=−+−+++=−⋯⋯要对n进行讨论:当时为偶数，此时排列.为偶排列;4,41nkk=+1(1)2nn−(1)21nn−⋯当时为奇数，此时排列.为奇排列.42,43nkk=++1(1)2nn−(1)21nn−⋯5．在由1,2,3,4,5,6,7,8,9组成的下述9阶排列中,选择使得:ij与（1）（2）2147958ij为偶排列；1254896ij为奇排列；（3）（3）4125769ij偶排列；3142786ij奇排列.均要求说明理由.分析分析分析分析排列中的两个未知数据排列的定义只能取3或7.因而只有两种情况：1254896ijij与132574896与172534896，然而我们只需计算上述的一个排列就可得知结果，因为与是和作1�2�1�2�37一次对换得到的，而作一次对换必改变排列的奇偶性，也就是说若为偶排列,则必为奇排列.其余题1�2�解法也类似.解解解解（1）取有为偶排列,符合题目要求.3,6ij==(214739568)11226τ=+++=（2）取有为偶排列,故取时1725348963,7ij==(132574896)112116τ=++++=7,3ij==为奇排列,符合题目要求.（3）取有为偶排列，符合题目要求.3,8ij==(412357698)3115τ=++=（4）取有为偶排列.故取时5,9ij==(531429786)42131112τ=+++++=9,5ij==931425786为奇排列,符合题目要求.6.写出全体形如的5阶排列.总结一下，有个位置数码给定的阶排列有多52253∗∗∗∗∗及k()nnk少个？分析分析分析分析形如的5阶排列中5和2的位置已经确定，3个位置只能取数字1，3，4中的某一个.52∗∗∗∗解解解解形如的5阶排列中第一个可取1，3，4中的任何一个，故有3种取法，第二个可取剩52∗∗∗∗∗下数字当中的任一个，有两种取法，最后一个只能取余下的那一个数，据乘法原理共有种取∗3213!××=法，即形如的阶排列有（5－2）！个.同理形如的阶排列共有（5－3）！个.因而，有个52∗∗∗253∗∗k位置数码给定的阶排列有个.()nnk()!nk−习题1.21.21.21.21.按行列式定义,计算下列行列式(要求写出过程):(1);(2);(3);22baba1loglog1baabθθθcos1sintan(4);(5);(6).00000dcba111111111−−−edba00000分析分析分析分析计算2阶行列式和3阶行列式可用对角线法则.解解解解(1)=;22baba22baab−(2)=;1loglog1baab−1ablogbalog110=−=(3)=;θθθcos1sintan0sincostan=−⋅θθθ(4)=;00000dcba00000000000acbdabcd××+⋅+⋅−××−⋅−⋅=(5)=111111111−−−111(1)(1)(1)11111(1)××+−×−×−+××−××−;(1)111(1)11111114−−××−×−×=−++++=(6)=.0000abcde00000000abecdbcdaeabeacd++−−−=−2.在6阶行列式中,下列项应该取什么符号?为什么?ija(1);(2);233142561465aaaaaa324354116625aaaaaa(3);(4).215316426534aaaaaa511332442665aaaaaa解解解解(1)因,所以取正号;(234516)(312645)448ττ+=+=另一种方法是:=,因,所以取正号.(2),(3),(4)也可233142561465aaaaaa142331425665aaaaaa(431265)τ6=这样做,不再列出.(2)因,所以取负号;(345162)(234165)7411ττ+=+=(3)因,所以取负号;(251463)(136254)6511ττ+=+=(4)因,所以取正号.(513426)(132465)628ττ+=+=3.当___,=___时成为5阶行列式中一个取负号的项,为什么?i=k13242553ikaaaaaija解解解解和只能取1,4或者4,1.不妨先假设,则=,这个项的符ik1,4ik==13242553ikaaaaa1132442553aaaaa号就是,不符合要求.那么当时=,(13425)(12453)4(1)(1)1ττ+−=−=+4,1ik==13242553ikaaaaa1432412553aaaaa它和相比就是交换了列指标1和4的位置,因与相比改变了奇偶性,1132442553aaaaa(12453)τ(42153)τ所以的符号为负.故应填.1432412553aaaaa4,1ik==4.若是5阶行列式中的一项,则当___,=___时该项的符号(415)(12345)41213455(1)kikiaaaaaττ+−ijai=k为正,当___,=___时该项的符号为负,为什么?i=k解解解解此问和问题3类似,和只能取2,3或者3,2.不妨先假设,则符号为ik2,3ik===,所以取的是负号.那么由问题3的分析可知当时符号取正.(43125)(12345)(1)ττ+−5(1)(1)−=−3,2ik==所以当时该项的符号为正,当时该项的符号为负.3,2ik==2,3ik==5.写出4阶行列式中包含因子的项,并指出正负号.ija4223aa解解解解参照习题1.1的第6题知,4阶行列式中包含因子的项有和.由ija4223aa11233442aaaa14233142aaaa于，故取正号;，故取负号.(1342)2τ=11233442aaaa(4312)5τ=14233142aaaa6.写出4阶行列式中所有取负号且包含因子的项.ija23a解解解解类似于第5题可推知,4阶行列式中包含的项为23a取负号;11233244aaaa(1324)1τ=取正号;(也可由(1)取负号推知(2)取正号)11233442aaaa(1342)2τ=取负号;12233441aaaa(2341)3τ=取正号;(也可由(3)取负号推知(4)取正号)12233144aaaa(2314)2τ=取负号;14233142aaaa(4312)5τ=取正号.(也可由(5)取负号推知(6)取正号)14233241aaaa(4321)6τ=所以所求的项为,,.11233244aaaa12233441aaaa14233142aaaa7.按行列式定义,计算下列行列式((4)中,并均要求写出计算过程):1n(1);(2);1012003ab−−−000000000000abcd(3);(4).1234512345121212000000000aaaaabbbbbccddee11121,1121222,11,11,21000000nnnnnnaaaaaaaaaa−−−−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解解解解(1)由对角线法则,=1012003ab−−−(1)(2)(3)00011(2)0ab−×−×−+××+⋅−×−×;(1)00(3)(6)6baabab−−×⋅−⋅⋅−=−+=−(2)根据定义=.44ija×123412341234()1234(1)jjjjjjjjjjjjaaaaτ−∑在行列式的通项中,只有这一项的因子中不含零,所以000000000000abcd11233244aaaa原式===.(1324)11233244(1)aaaaτ−11233244aaaa−abcd−(3)根据定义=.55ija×123451234512345()12345(1)jjjjjjjjjjjjjjjaaaaaτ−∑在行列式的通项中每一个项中最后三个因子分别1234512345121212000000000aaaaabbbbbccddee1234512345jjjjjaaaaa345345,,jjjaaa取值于行列式最后三行的不同列的三个数,而行列式最后三行中均只有二个数不为零,所以这三个因子中至少一个取零.这样行列式的每一项中都含有因子零,所以每项都为零,从而行列式为零.(4)根据定义=,该展开式通项中取自ijnna×121212()12(1)nnnjjjjjnjjjjaaaτ−∑⋯⋯⋯1212njjnjaaa⋯nnja的第行,现在第行中除了外其余元素都为零.故若,则对应11121,1121222,11,11,21000000nnnnnnaaaaaaaaaa−−−−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯nn1na1nj≠的行列式展开式中的那一项一定为零,求和时可不考虑.因此只要考虑的项.同样对于行列式的第1nj=行中除了和外其余元素都为零,且因,从而只能取了.依次类推,行列式展开1n−1,1na−1,2na−1nj=1nj−2式的所有项中除去列指标对应的项外都为零.又因为,12(1)1njjjnn=−⋯⋯1((1)1)(1)2nnnnτ−=−⋯所以原式=.1(1)212,11,21(1)nnnnnnaaaa−−−−⋯8.问=111422233233414400000000aaaaaaaa1122334414233241aaaaaaaa−为什么错?正确答案是什么?解解解解错,原因在于没有搞清楚4阶行列式定义而把2,3阶行列式的对角线法则误认为对4阶行列式也成立.4阶和4阶以上的行列式没有对角线法则.正确答案为:.11223344142332411123324414223341aaaaaaaaaaaaaaaa+−−具体解法可参考习题1.4第5题之(3).9.若阶行列式中元素均为整数,则必为整数,这结论对不对?为什nijDa=ija(,1,2,,)ijn=⋯D么?解解解解对.行列式